a, Tam giá ABC nội tiếp đường tròn; BC đường kính của đường tròn=> tam giác ABC vuông tại A

Xét tam giác ABC có góc BAC= 90 độ

\(CA^2=CB^2-AB^2\)( PI TA GO)

\(CA^2=4R^2-R^2\)

\(CA=\sqrt{3}R\)

b, ta có AE=EB (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)(1)

AF=CF (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)(2)

ta có:

EF=EA+AE

(1)(2)=> EF= BE+CF

C, ta có góc FOC=FOA(3)

góc AOE=BOE(4)

cả hai đều là tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

ta có FOC+FOA+AOE+BOE= 180 độ

(3)(4)=> 2(FOA+AOE)=180 độ

=> FOA+AOE= 90 độ 

=> OE vuông góc với OF

theo (1) và (2) câu a ta có BE.CF=FA.AE

xét tam giác OFE vuông tại O

FA.AE=OA^2=R^2(5)

ta có \(\frac{CB^2}{4}=\frac{4R^2}{4}=R^2\)(6)

(5)(6)=> BE.CF=\(\frac{BC^2}{4}\)

mình chưa làm được câu cuối

a: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE\(\perp\)AB

Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BF\(\perp\)AC

XétΔABC có

CE,BF là đường cao

CE cắt BF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

b: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAFB vuông tại F có

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAEC ~ΔAFB

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AC\cdot AF;\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

c: Xét ΔAEF và ΔACB có

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔACB

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

d: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

=>A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn

a/ Ta có

\(BE\perp AC\Rightarrow\widehat{AEB}=90^o\)

\(AH\perp BC\Rightarrow\widehat{AHB}=90^o\)

=> E và H cùng nhìn AB dưới 1 góc bằng 90 độ => E;H,A;B thuộc đường tròn bán kính = \(\frac{AB}{2}\) , tâm là trung điểm AB

b/ Ta có

\(\widehat{DBE}=\widehat{DFE}\) (Góc nội tiếp đường tròn tâm O cùng chắn cung DE)

\(\widehat{DBE}=\widehat{AHE}\) (Góc nội tiếp đường tròn ngoại tiếp HBAE cùng chắn cung AE)

\(\Rightarrow\widehat{DFE}=\widehat{AHE}\) => DF//AH (Hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 tạo thành hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau thì chúng // với nhau)

Mà \(AH\perp BC\Rightarrow DF\perp BC\)

c/

Từ E dựng đường thẳng vuông góc với BC cắt (O) tại I => gia của BC với EI là trung điểm EI (đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung) => I là điểm đối xứng E qua BC.

Nối I với H, D với H 

Xét \(\Delta HDF\) và \(\Delta HEI\) ta có

\(BC\perp DF;BC\perp EI\) => BC đi qua trung điểm của DF và EI => tg HDF và tg HEI là tam giác cân tại H (có BC là đường cao đồng thời là đường trung trực)

\(\Rightarrow\widehat{HEI}=\widehat{HIE};\widehat{HDF}=\widehat{HFD}\) (góc ở đáy của tg cân)

Ta có DF//EI (cùng vuông góc với BC) => sđ cung DE = sđ cung FI (Trong đường tròn hai cung bị chắn bởi 2 dây // với nhau thì = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{HFD}=\widehat{HEI}\) (góc nội tiếp cùng chắn 2 cung có số đo bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{HEI}=\widehat{HIE}=\widehat{HDF}=\widehat{HFD}\)  => tg HDF đồng dạng với tg HEI

\(\Rightarrow\frac{HD}{HE}=\frac{HF}{HI}\Rightarrow HD.HI=HE.HF\)