1. Tín hiệu giữa Trái Đất – Sao Hỏa và thiên hà xa xôi, tính thời gian theo hệ quy chiếu trên tàu vũ trụ

Giả thiết:

• Tàu vũ trụ “chạy” với vận tốc \(v = c\) (như giả định mặc dù trong thực tế không thể đạt được).
• Khoảng cách Trái Đất ⇄ Sao Hỏa: \(D_{E H} = 225 \textrm{ }\textrm{ } \text{tri}ệ\text{u}\&\text{nbsp};\text{km} = 2,25 \times 10^{8} \textrm{ }\textrm{ } \text{km} = 2,25 \times 10^{11} \textrm{ }\textrm{ } \text{m} .\)
• Thiên hà xa xôi cách Trái Đất 10 tỷ năm ánh sáng (10 \(\times 10^{9}\) năm ánh sáng). Ta ký hiệu:
  \(D_{\text{galaxy}} = 10^{10} \textrm{ }\textrm{ } \text{ly} .\)
• Bỏ qua sự giãn nở của vũ trụ khi tính khoảng cách Trái Đất – Sao Hỏa; coi các khoảng cách cố định về không gian trong hệ Trái Đất.

A. Tín hiệu Trái Đất ⇄ Sao Hỏa

1. Thời gian lan truyền tín hiệu (theo hệ Trái Đất)
2. • Khoảng cách một chiều:
     \(D_{E H} = 2,25 \times 10^{11} \textrm{ }\textrm{ } \text{m} .\)
   • Vận tốc ánh sáng trong chân không:
     \(c = 3,00 \times 10^{8} \textrm{ }\textrm{ } \text{m}/\text{s} .\)
   • Thời gian ánh sáng đi một chiều (Trái Đất → Sao Hỏa):
     \(t_{\text{one}‐\text{way},\&\text{nbsp};\text{EH}} = \frac{D_{E H}}{c} = \frac{2,25 \times 10^{11}}{3,00 \times 10^{8}} \textrm{ }\textrm{ } \text{s} = 750 \textrm{ }\textrm{ } \text{s} \approx 12 , 5 \textrm{ }\textrm{ } \text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} .\)
   • Tương tự, để tín hiệu từ Sao Hỏa phản xạ ngay tức thì rồi về lại Trái Đất (Sao Hỏa → Trái Đất) cũng mất thêm \(750 \textrm{ }\textrm{ } \text{s} \approx 12 , 5 \textrm{ }\textrm{ } \text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} .\)
   • Tổng thời gian khứ hồi (theo hệ Trái Đất) là
     \(t_{\text{round}‐\text{trip},\&\text{nbsp};\text{EH}} = 750 \textrm{ }\textrm{ } \text{s} + 750 \textrm{ }\textrm{ } \text{s} = 1 \textrm{ } 500 \textrm{ }\textrm{ } \text{s} = 25 \textrm{ }\textrm{ } \text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} .\)
3. Thời gian “theo hệ quy chiếu của tàu vũ trụ”
4. • Giả sử tàu vũ trụ bắt đầu xuất phát từ Trái Đất, lúc đó trên tàu và trên Trái Đất đồng hồ chỉ \(t = 0\).
   • Khi tàu rời Trái Đất và “đi với tốc độ \(v = c\)”, về nguyên lý tương đối hẹp, một vật di chuyển với đúng tốc độ ánh sáng (chẳng hạn photon) thì quãng đường ánh sáng của nó là quỹ đạo ánh sáng (lightlike) và khoảng thời gian riêng (proper time) trên photon luôn bằng 0. Nói cách khác, nếu ta thực sự có thể “đi với \(v = c\)”, thì trên đồng hồ “của người đi với \(v = c\)” sẽ không trôi giây nào (proper time = 0).
   • Vì vậy, bất kể tín hiệu từ Trái Đất đi đến Sao Hỏa rồi về, cũng như tín hiệu từ thiên hà 10 tỷ ly nọ đi đến quan sát viên và về lại tàu, quãng đường ấy nhìn từ góc độ “tàu đang di chuyển \(v = c\)” đều là hai “sự kiện ánh sáng” (photon‐like), và proper time giữa hai sự kiện ánh sáng là 0.
   • Kết luận:
   • • Dưới giả thiết “tàu thật sự di chuyển đúng \(c\)”, thì theo đồng hồ trên tàu vũ trụ, tất cả thời gian khứ hồi của tín hiệu ánh sáng đều bằng 0.
     • Nói cách khác, cho dù trên hệ Trái Đất tín hiệu mất 25 phút để khứ hồi Trái Đất ⇄Sao Hỏa, nhưng theo người ngồi trên tàu (đang “chạy với \(v = c\)”) thì proper time = 0.

B. Tín hiệu Trái Đất ⇄ thiên hà cách 10 tỷ năm ánh sáng

1. Thời gian khứ hồi (theo hệ Trái Đất)
2. • Khoảng cách một chiều (Trái Đất → thiên hà) là
     \(D_{\text{galaxy}} = 10^{10} \textrm{ }\textrm{ } \text{n} \overset{ }{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp}; \overset{ˊ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ng} .\)
   • “1 năm ánh sáng” xấp xỉ \(9,46 \times 10^{15} \textrm{ }\textrm{ } \text{m}\).
     → Hai chiều (khứ hồi) là \(2 \times 10^{10}\) năm ánh sáng.
   • Do đó, theo người đứng trên Trái Đất, nếu phát một xung sáng ngay lúc tàu khởi hành, ánh sáng đi đến thiên hà và được phản xạ ngay tức thì thì sẽ mất tổng cộng
     \(t_{\text{round}‐\text{trip},\&\text{nbsp};\text{galaxy}} = 2 \times 10^{10} \textrm{ }\textrm{ } \text{n} \overset{ }{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp}; \overset{ˊ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ng} = 2 \times 10^{10} \textrm{ }\textrm{ } \text{n} \overset{ }{\text{a}} \text{m} .\)
     (Tức 20 tỷ năm ánh sáng tính theo thời gian ánh sáng.)
3. Theo hệ quy chiếu tàu (nếu tàu di chuyển “chính xác” \(v = c\))
4. • Tương tự như phần A: mọi quãng đường ánh sáng (đi ra rồi về) luôn là đường quỹ đạo ánh sáng (lightlike). Proper time dọc theo quỹ đạo lightlike = 0.
   • Do đó, toàn bộ quá trình “phát tín hiệu → tới thiên hà → phản xạ → quay lại tàu” về mặt proper time trên tàu vũ trụ vẫn = 0.

C. Tổng kết

• Theo hệ Trái Đất:
• 1. Tín hiệu khứ hồi Trái Đất ⇄ Sao Hỏa: khoảng 25 phút.
  2. Tín hiệu khứ hồi Trái Đất ⇄ thiên hà 10 tỷ ly: \(2 \times 10^{10}\) năm (tức 20 tỷ năm).
• • Tổng cộng (hai lần khứ hồi cộng lại) là:
    \(25 \textrm{ }\textrm{ } \text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \times 10^{10} \textrm{ }\textrm{ } \text{n} \overset{ }{\text{a}} \text{m} .\)
• Theo hệ tàu vũ trụ (với tốc độ giả định \(v = c\)):
• • Proper time của bất kỳ quãng đường ánh sáng nào (đều lightlike) chính xác bằng 0.
    → Do đó, dù có hai lần khứ hồi (một lần đến Sao Hỏa, một lần đến thiên hà 10 tỷ ly), tổng proper time trên đồng hồ tàu vẫn là 0.