(2) Bài Vật Lý lớp 8

“Một thanh nhẹ AB, đặt tựa ở điểm O, biết OA = 20 m, OB = 50 m; C là trung điểm của OB. Tại B và C treo hai quả cầu đồng chất bằng sắt giống nhau, bán kính \(r_{1} = 5 \&\text{nbsp};\text{cm}\). Tại A treo một quả cầu bằng đồng bán kính \(r_{2}\). Khi đó thanh cân bằng. Biết khối lượng riêng của sắt \(\textrm{ } D_{1} = 5600 \textrm{ }\textrm{ } k g / m^{3}\) và của đồng \(\textrm{ } D_{2} = 6400 \textrm{ }\textrm{ } k g / m^{3}\). Tìm bán kính \(r_{2}\).”

1. Tính khối lượng hai quả cầu sắt tại B và C.
2. • Bán kính quả sắt: \(r_{1} = 5 \textrm{ } \text{cm} = 0,05 \textrm{ } m .\)
   • Thể tích mỗi quả cầu sắt:
     \(V_{1} = \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{1}^{3} = \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } \left(\right. 0,05 \left.\right)^{3} = \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \times 0,000125 = \frac{4}{3} \times 0,000125 \textrm{ } \pi = 0,000166666 \ldots \textrm{ } \pi \textrm{ }\textrm{ } m^{3} .\)
   • Khối lượng mỗi quả cầu sắt:
     \(m_{1} = D_{1} \times V_{1} = 5600 \times \left(\right. 0,000166666 \ldots \textrm{ } \pi \left.\right) = 5600 \times 0,000166666 \ldots \times \pi = 0,93333 \ldots \textrm{ } \pi \textrm{ }\textrm{ } k g \approx 2,932 \textrm{ } k g \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; \pi \approx 3,1416 \left.\right) .\)
   • Có hai quả sắt (treo ở B và C), mỗi quả khối lượng \(m_{1}\).
3. Tính mô men lực do hai quả sắt tạo ra quanh trục O.
4. • Điểm B cách O là \(O B = 50 \textrm{ } m .\)
   • Điểm C cách O là \(O C = \frac{O B}{2} = 25 \textrm{ } m .\)
   • Lực kéo tại B: \(F_{B} = m_{1} \textrm{ } g\). Mô men tại B là \(M_{B} = F_{B} \times O B = m_{1} \textrm{ } g \times 50.\)
   • Tại C: \(F_{C} = m_{1} \textrm{ } g\). Mô men tại C là \(M_{C} = m_{1} \textrm{ } g \times 25.\)
   • Tổng mô men “đảo” (giả sử hướng xuống làm quay ngược chiều kim đồng hồ) là:
     \(M_{\text{s} \overset{ˊ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{t}} = m_{1} \textrm{ } g \times 50 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } m_{1} \textrm{ } g \times 25 = m_{1} \textrm{ } g \textrm{ } \left(\right. 50 + 25 \left.\right) = 75 \textrm{ } m_{1} \textrm{ } g .\)
5. Tại A, treo quả cầu đồng để cân bằng.
6. • Bán kính quả đồng: \(r_{2}\) (chưa biết).
   • Thể tích quả đồng:
     \(V_{2} = \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{2}^{3} .\)
   • Khối lượng quả đồng:
     \(m_{2} = D_{2} \times V_{2} = 6400 \times \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{2}^{3} = \frac{25600}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{2}^{3} .\)
   • Lực kéo tại A: \(F_{A} = m_{2} \textrm{ } g ,\) tác dụng tại khoảng cách \(O A = 20 \textrm{ } m .\)
   • Mô men do quả đồng tại A tạo ra (giả sử ngược chiều kim đồng hồ nếu đặt ở A, nhưng khi cân bằng thì hai mô men ngược chiều nhau phải bằng nhau):
     \(M_{đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}} = m_{2} \textrm{ } g \times O A = \left(\right. \frac{25600}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{2}^{3} \left.\right) \textrm{ } g \times 20 = \frac{512000}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{2}^{3} \textrm{ } g .\)
7. Điều kiện cân bằng: Tổng mô men hai quả sắt (tại B và C) = mô men quả đồng tại A.
   \(M_{đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } M_{\text{s} \overset{ˊ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{t}} \Longrightarrow \frac{512000}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{2}^{3} \textrm{ } g = 75 \textrm{ } m_{1} \textrm{ } g .\)
   Vì \(g\) xuất hiện ở hai vế, ta có thể lược bỏ \(g\). Ngoài ra \(m_{1} = \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } \left(\right. 0,05 \left.\right)^{3} \times 5600\). Thay vào:
   \(\frac{512000}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{2}^{3} = 75 \times \left[\right. 5600 \times \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } \left(\right. 0,05 \left.\right)^{3} \left]\right. .\)
8. Giải phương trình cho \(r_{2}\)
9. • Tính cụ thể \(m_{1}\):
     \(m_{1} = 5600 \times \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \times 0,05^{3} = 5600 \times \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \times 0,000125 = 5600 \times 0,000166666 \ldots \textrm{ } \pi = 0,93333 \ldots \textrm{ } \pi \approx 2,932 \textrm{ }\textrm{ } k g .\)
   • Vế phải:
     \(75 \textrm{ } m_{1} = 75 \times \left(\right. 0,93333 \ldots \textrm{ } \pi \left.\right) = 70 \textrm{ } \pi \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \text{x} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{x}ỉ\&\text{nbsp};\text{219},\text{911}\&\text{nbsp};\text{kg}\&\text{nbsp};\text{n} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp}; \pi \approx 3,1416 \left.\right) .\)
   • Vế trái:
     \(\frac{512000}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{2}^{3} .\)
   • Phương trình:
     \(\frac{512000}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r_{2}^{3} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 75 \times \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \times 5600 \times \left(\right. 0,05 \left.\right)^{3} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 75 \times m_{1} = 75 \times \left[\right. 5600 \times \frac{4}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } \left(\right. 0,05 \left.\right)^{3} \left]\right. .\)
   • Ta có thể lược bỏ thừa \(\pi\) và \(\frac{4}{3}\), vì bên phải cũng có hệ số \(\frac{4}{3} \textrm{ } \pi\). Thay thể tích và khối lượng vào, rút gọn:
     \(\frac{512000}{3} \textrm{ } r_{2}^{3} = 75 \times 5600 \times \frac{4}{3} \textrm{ } \left(\right. 0,05 \left.\right)^{3} = 75 \times m_{1} .\)
   • Hoặc làm gọn hơn:
     \(512000 \textrm{ } r_{2}^{3} = 75 \times 5600 \times 4 \times \left(\right. 0,05 \left.\right)^{3} = 75 \times 5600 \times 4 \times 0,000125.\)
     Tính thẳng:
     \(4 \times 0,000125 = 0,0005 , 75 \times 5600 = 420000 , 420000 \times 0,0005 = 210.\)
     Vậy ta có
     \(512000 \textrm{ } r_{2}^{3} = 210 \Longrightarrow r_{2}^{3} = \frac{210}{512000} = 0,00041015625.\)
   • Lấy căn bậc ba:
     \(r_{2} = \sqrt[\textrm{ } 3 \textrm{ }]{0,00041015625} \approx 0,0743 \&\text{nbsp}; m = 7,43 \&\text{nbsp};\text{cm} .\)

Đáp án:

\(\boxed{r_{2} \approx 7,43 \textrm{ }\textrm{ } \text{cm} .}\)