Câu hỏi của Thanh Tùng Nguyễn

Question

<p><img src="https://cdn3.olm.vn/upload/img/0416/img_2025-04-16_67fefd142883f.jpg" alt="Giai giup minh 3 câu này với" width="698" height="365" title="Giai giup minh 3 câu nay vơi" class="position-none...

Gia Bao · Accepted Answer

BÀI 3. Cho tam giác đều $A B C$. Lấy một điểm $M$ bất kỳ nằm trong tam giác. Gọi $X , Y , Z$ lần lượt là ảnh đối xứng của $M$ qua các cạnh $B C , C A , A B$. Kẻ đường cao $A H \bot B C$. Gọi $T$ là trung điểm của đoạn $X Z$.

(a) Chứng minh $\triangle B A Z sim \triangle A B H T$.

Chú thích trước khi chứng minh:
$A B C$ là tam giác đều nên $\angle A B C = \angle B C A = \angle C A B = 60^{\circ}$.
$Z$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $A B$, nên $A B \bot M Z$ tại trung điểm của $M Z$.
$X$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $B C$.

Ta sẽ chứng minh hai tam giác $B A Z$ và $A B H T$ đồng dạng bằng cách chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau.

Xác định các góc đặc biệt
- Vì $Z$ đối xứng $M$ qua $A B$, nên $A B \bot M Z$. Suy ra $\angle B Z A$ là góc vuông (vì $Z$ nằm trên đường thẳng qua $M$ đối xứng qua $A B$, tức đoạn $M Z \bot A B$). Do đó
  $\angle B Z A = 90^{\circ} .$
- $A H$ là đường cao từ $A$ xuống $B C$, suy ra $A H \bot B C$. Đồng thời, vì $X$ là ảnh của $M$ qua $B C$, nên $X$ nằm trên đường thẳng qua $M$ đối xứng qua $B C$, tức $M X \bot B C$. Kết hợp hai điều này, $A H$ và $M X$ đều vuông góc với $B C$, nên chúng song song nhau:
  $A H \parallel M X .$
- $T$ là trung điểm của $X Z$. Do hai điểm $X$ và $Z$ đều nằm trên hai đường thẳng vuông góc với $B C$ (lần lượt là ảnh đối xứng của $M$ qua $B C$ và $A B$), nên $X T$ và $T Z$ thẳng hàng.
Chứng minh hai góc ở hai tam giác bằng nhau
- Góc $\angle B A Z$ (trong $\triangle B A Z$)
  Xét tam giác đều $A B C$. Vì $A B C$ đều, $\angle C A B = 60^{\circ}$. Mặt khác, $Z$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $A B$ (ảnh đối xứng của $M$ qua $A B$), nên $A Z$ vuông góc với $A B$. Vậy
  $\angle B A Z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 90^{\circ} - \angle C A B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} .$
- Góc $\angle A B H$ (trong $\triangle A B H$)
  Vì $A H \bot B C$ và $A B C$ đều nên $\angle A B C = 60^{\circ}$. Từ đó,
  $\angle A B H = 90^{\circ} - \angle H B O \left(\right. \backslash\text{HBO} \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{nh}ọ\text{n}\&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp}; \triangle A B H \left.\right) .$
  Nhưng cụ thể hơn:
- - $A H \bot B C \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \angle A H B = 90^{\circ} .$
  - Trong tam giác $A B C$ đều, $\angle A B C = 60^{\circ}$. Vì $H$ thuộc $B C$, điểm thẳng hàng với $B$, nên $\angle A B H$ là góc kề bù của $\angle A B C$ trong tam giác $A B H$. Do đó
    $\angle A B H = 180^{\circ} - \angle A B C - \angle A H B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ} .$
- Do vậy,
  $\angle B A Z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 30^{\circ} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle A B H = 30^{\circ} \Longrightarrow \angle B A Z = \angle A B H .$
- Góc $\angle B Z A$ (trong $\triangle B A Z$)
  Như đã nêu, $A B \bot M Z$ nên $B Z A$ là góc vuông:
  $\angle B Z A = 90^{\circ} .$
- Góc $\angle A H T$
- - Chúng ta đã thấy $A H \parallel M X$. Vì $T$ là trung điểm $X Z$, nên $M T \parallel A Z$ (với $A Z \bot A B$). Khi tầm quan sát theo hình vẽ, ta có “$A H$ vuông góc với $B C$” và “$M X$ vuông góc với $B C$”, nên $A H \parallel M X$.
  - Đồng thời, $Z$ nằm trên đường vuông góc từ $M$ tới $A B$, tức $M Z \bot A B$. Và $T$ nằm trên $X Z$, nên suy ra $T Z \bot A B$. Do đó $T Z \parallel M Z$.
  - Tóm lại, $A H \bot B C$ và $M X \bot B C$ $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A H \parallel M X$. Còn $A Z \bot A B$ và $M Z \bot A B$ $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A Z \parallel M Z$. Kết hợp lại, tam giác $A H T$ vuông góc tại $H$.
  - Khi đó, trong $\triangle A B H$, $\angle A H T$ là góc tại $H$ tạo bởi $A H$ và $H T$. Mà $A H$ vuông góc với $B C$, đồng thời $H T$ song song với $A Z$ (vì $T$ trung điểm $X Z$ và $Z \in \left(\right. M Z \left.\right)$

Câu trả lời:

BÀI 3. Cho tam giác đều $A B C$. Lấy một điểm $M$ bất kỳ nằm trong tam giác. Gọi $X , Y , Z$ lần lượt là ảnh đối xứng của $M$ qua các cạnh $B C , C A , A B$. Kẻ đường cao $A H \bot B C$. Gọi $T$ là trung điểm của đoạn $X Z$.

(a) Chứng minh $\triangle B A Z sim \triangle A B H T$.

Chú thích trước khi chứng minh:
$A B C$ là tam giác đều nên $\angle A B C = \angle B C A = \angle C A B = 60^{\circ}$.
$Z$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $A B$, nên $A B \bot M Z$ tại trung điểm của $M Z$.
$X$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $B C$.

Ta sẽ chứng minh hai tam giác $B A Z$ và $A B H T$ đồng dạng bằng cách chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau.

Xác định các góc đặc biệt
- Vì $Z$ đối xứng $M$ qua $A B$, nên $A B \bot M Z$. Suy ra $\angle B Z A$ là góc vuông (vì $Z$ nằm trên đường thẳng qua $M$ đối xứng qua $A B$, tức đoạn $M Z \bot A B$). Do đó
  $\angle B Z A = 90^{\circ} .$
- $A H$ là đường cao từ $A$ xuống $B C$, suy ra $A H \bot B C$. Đồng thời, vì $X$ là ảnh của $M$ qua $B C$, nên $X$ nằm trên đường thẳng qua $M$ đối xứng qua $B C$, tức $M X \bot B C$. Kết hợp hai điều này, $A H$ và $M X$ đều vuông góc với $B C$, nên chúng song song nhau:
  $A H \parallel M X .$
- $T$ là trung điểm của $X Z$. Do hai điểm $X$ và $Z$ đều nằm trên hai đường thẳng vuông góc với $B C$ (lần lượt là ảnh đối xứng của $M$ qua $B C$ và $A B$), nên $X T$ và $T Z$ thẳng hàng.
Chứng minh hai góc ở hai tam giác bằng nhau
- Góc $\angle B A Z$ (trong $\triangle B A Z$)
  Xét tam giác đều $A B C$. Vì $A B C$ đều, $\angle C A B = 60^{\circ}$. Mặt khác, $Z$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $A B$ (ảnh đối xứng của $M$ qua $A B$), nên $A Z$ vuông góc với $A B$. Vậy
  $\angle B A Z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 90^{\circ} - \angle C A B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} .$
- Góc $\angle A B H$ (trong $\triangle A B H$)
  Vì $A H \bot B C$ và $A B C$ đều nên $\angle A B C = 60^{\circ}$. Từ đó,
  $\angle A B H = 90^{\circ} - \angle H B O \left(\right. \backslash\text{HBO} \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{nh}ọ\text{n}\&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp}; \triangle A B H \left.\right) .$
  Nhưng cụ thể hơn:
- - $A H \bot B C \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \angle A H B = 90^{\circ} .$
  - Trong tam giác $A B C$ đều, $\angle A B C = 60^{\circ}$. Vì $H$ thuộc $B C$, điểm thẳng hàng với $B$, nên $\angle A B H$ là góc kề bù của $\angle A B C$ trong tam giác $A B H$. Do đó
    $\angle A B H = 180^{\circ} - \angle A B C - \angle A H B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ} .$
- Do vậy,
  $\angle B A Z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 30^{\circ} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle A B H = 30^{\circ} \Longrightarrow \angle B A Z = \angle A B H .$
- Góc $\angle B Z A$ (trong $\triangle B A Z$)
  Như đã nêu, $A B \bot M Z$ nên $B Z A$ là góc vuông:
  $\angle B Z A = 90^{\circ} .$
- Góc $\angle A H T$
- - Chúng ta đã thấy $A H \parallel M X$. Vì $T$ là trung điểm $X Z$, nên $M T \parallel A Z$ (với $A Z \bot A B$). Khi tầm quan sát theo hình vẽ, ta có “$A H$ vuông góc với $B C$” và “$M X$ vuông góc với $B C$”, nên $A H \parallel M X$.
  - Đồng thời, $Z$ nằm trên đường vuông góc từ $M$ tới $A B$, tức $M Z \bot A B$. Và $T$ nằm trên $X Z$, nên suy ra $T Z \bot A B$. Do đó $T Z \parallel M Z$.
  - Tóm lại, $A H \bot B C$ và $M X \bot B C$ $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A H \parallel M X$. Còn $A Z \bot A B$ và $M Z \bot A B$ $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A Z \parallel M Z$. Kết hợp lại, tam giác $A H T$ vuông góc tại $H$.
  - Khi đó, trong $\triangle A B H$, $\angle A H T$ là góc tại $H$ tạo bởi $A H$ và $H T$. Mà $A H$ vuông góc với $B C$, đồng thời $H T$ song song với $A Z$ (vì $T$ trung điểm $X Z$ và $Z \in \left(\right. M Z \left.\right)$

(a) Chứng minh \(\triangle B A Z sim \triangle A B H T\).

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

(a) Chứng minh \(\triangle B A Z sim \triangle A B H T\).

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP