Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $45^\circ$.

Vector $\vec{SC}$ là

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2},\ 2a - 0,\ 0 - h \right) = \left(\dfrac{a}{2},\ 2a,\ -h\right)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy:

$SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\dfrac{17a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Góc giữa $SC$ và mặt đáy:

$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}}$

Vì $\theta = 45^\circ \Rightarrow \tan 45^\circ = 1$, nên

$\dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = 1 \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Tọa độ điểm $S\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right)$ và $D(0,2a,0)$. Trung điểm $M$ của $SD$ là:

$M = \left(\dfrac{\dfrac{a}{2}+0}{2},\ \dfrac{0+2a}{2},\ \dfrac{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}+0}{2}\right) = \left(\dfrac{a}{4},\ a,\ \dfrac{a\sqrt{17}}{4}\right)$

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAC)$:

$\vec{n} = \vec{SA} \times \vec{SC} = \left(-\dfrac{a}{2},0,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) \times \left(\dfrac{a}{2},2a,-\dfrac{a\sqrt{17}}{2}\right) = \left(a^2 \sqrt{17}, 0, -a^2\right)$

Phương trình mặt phẳng $(SAC)$:

$a^2\sqrt{17}(x - \dfrac{a}{2}) + 0 \cdot (y-0) + (-a^2)(z-\dfrac{a\sqrt{17}}{2})=0 \Rightarrow z - \sqrt{17} x = 0$

Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(SAC)$:

$d = \dfrac{|z_M - \sqrt{17} x_M|}{\sqrt{(\sqrt{17})^2 + (-1)^2}} = \dfrac{|\dfrac{a\sqrt{17}}{4} - \sqrt{17} \cdot \dfrac{a}{4}|}{\sqrt{17+1}} = 0$

Vậy $M$ nằm trên mặt phẳng $(SAC)$, nên khoảng cách $d = 0$.

Đáp án B.

Vẽ đường thẳng d qua B và song song với AC.

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H trên d và SB, L là hình chiếu của H trên SK.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Vector $\vec{AC} = C-A = (a,2a,0)$ và vector $\vec{SB} = B-S = \left(a - \dfrac{a}{2}, 0 - 0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2}, 0, -h\right)$.

Khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $2a\sqrt{3}$. Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:

Vector pháp tuyến $\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC}$, với $C=(a,2a,0)$, $S=(\dfrac{a}{2},0,h)$:

$\overrightarrow{SC} = C-S = \left(a-\dfrac{a}{2}, 2a-0, 0 - h\right) = \left(\dfrac{a}{2},2a,-h\right)$

$\vec{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\dfrac{a}{2} & 0 & -h \\\dfrac{a}{2} & 2a & -h\end{vmatrix} = (2ah, 0, a^2)$

Khoảng cách từ $D(0,2a,0)$ đến mặt phẳng $(SBC)$:

$d = \dfrac{| \vec{n} \cdot \overrightarrow{SD} |}{|\vec{n}|} = 2a\sqrt{3} \Rightarrow h = a\sqrt{3}$

Vậy $S = \left(\dfrac{a}{2},0,a\sqrt{3}\right)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{| (\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} |}{|\vec{AC} \times \vec{SB}|}$

Tính vector:

$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{SB} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & 2a & 0 \\\dfrac{a}{2} & 0 & -a\sqrt{3}\end{vmatrix} = (-4a^2\sqrt{3})\mathbf{i} + (a^2 \sqrt{3})\mathbf{j} + (-a^2)\mathbf{k}$

$\overrightarrow{SA} = A-S = \left(-\dfrac{a}{2},0,-a\sqrt{3}\right)$

Tích vô hướng:

$(\vec{AC} \times \vec{SB}) \cdot \overrightarrow{SA} = (-4a^2\sqrt{3}) \cdot (-\dfrac{a}{2}) + (a^2 \sqrt{3}) \cdot 0 + (-a^2) \cdot (-a\sqrt{3}) = 3a^3\sqrt{3}$

Độ dài tích có hướng:

$|\vec{AC} \times \vec{SB}| = \sqrt{(-4a^2\sqrt{3})^2 + (a^2\sqrt{3})^2 + (-a^2)^2} = \sqrt{52a^4} = 2a^2\sqrt{13}$

Vậy khoảng cách giữa $SB$ và $AC$:

$d = \dfrac{3a^3\sqrt{3}}{2a^2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}} = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$

Đáp án: $d = \dfrac{3a\sqrt{39}}{26}$

\(\left(SAB\right);\left(SAC\right)\) cùng vuông góc (ABCD) \(\Rightarrow SA\perp\left(ABCD\right)\)

\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=a\sqrt{3}\)

Gọi M là trung điểm CD \(\Rightarrow GS=\dfrac{2}{3}MS\) (t/c trọng tâm)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2}{3}d\left(M;\left(SBD\right)\right)\)

Gọi I là giao điểm AM và BD \(\Rightarrow\dfrac{IM}{IA}=\dfrac{DM}{AB}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(M;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SBD\right)\right)\Rightarrow d\left(G;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

Kẻ AH vuông góc SO (O là tâm đáy) \(\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) ; \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{21}}{21}\)

Đáp án D

Hạ 

Hạ 

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm AB, G là trọng tâm  

Trong mặt phẳng (ABCD), 

Ta có: 

Gọi I là hình chiếu của H lên BD, K là hình chiếu của H lên GI

Ta có: 

ĐÁP ÁN: C

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

$\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,2a,-h)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2ah,\ ah,\ 2a^2)$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:

$d_A = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,h)$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 h$

$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (2a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 4a^2}$

Suy ra: $d_A = \dfrac{2a^2 h}{a\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$

Theo đề: $\dfrac{2ah}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = a\sqrt{3}$

⇒ $\dfrac{2h}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \sqrt{3}$

Giải ra:

$\dfrac{4h^2}{5h^2 + 4a^2} = 3 \Rightarrow 4h^2 = 3(5h^2 + 4a^2)$

⇒ $4h^2 = 15h^2 + 12a^2 \Rightarrow 11h^2 = -12a^2$ (vô lý)

Nhận xét: khoảng cách không phụ thuộc vào $h$ theo cách trực tiếp, ta dùng tính chất hình học.

Vì đáy là hình chữ nhật nên $AC$ cắt $(SBD)$ tại trung điểm của $BD$.

Khoảng cách từ các điểm $A, C$ đến $(SBD)$ tỉ lệ với khoảng cách theo phương vuông góc.

Do tính đối xứng của hình chữ nhật:

$d_C = d_A$

Vậy: $d_C = a\sqrt{3}$.

Do SAB là tam giác đều \(\Rightarrow SH\perp AB\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi E là trung điểm CD, từ H kẻ \(HF\perp SE\) (F thuộc SE)

\(\left\{{}\begin{matrix}HE\perp CD\\SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SHE\right)\)

\(\Rightarrow CD\perp HF\)

\(\Rightarrow HF\perp\left(SCD\right)\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

\(HE=BC=a\) ; \(SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều cạnh a)

Hệ thức lượng: 

\(HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Gọi $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, đáy nhỏ $CD$, đáy lớn $AB$.

Tam giác $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, trung tuyến $SH$ vuông góc với đáy.

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0), D(2a,0,0)$, do tam giác $SAD$ đều và nằm vuông góc đáy ⇒ $S(a,0, \sqrt{3} a)$, vì chiều cao tam giác đều $h_{SAD} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = \sqrt{3} a$

Trung điểm $H$ của $AD$: $H = \left(\dfrac{0+2a}{2}, 0, 0\right) = (a,0,0)$

Khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SHC)$ bằng $d = 2a \sqrt{6}$.

- Thể tích khối chóp: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SH_{\perp}$

Cạnh $SC = a \sqrt{15}$ cho biết chiều cao tương ứng của khối chóp khi tính thể tích theo $SC$ và mặt đáy.

Diện tích đáy $ABCD$: Hình thang vuông $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD) \cdot AD}{2}$, đặt $AB = ?$, $CD = ?$ → theo dữ kiện sẽ rút gọn ra $S_{ABCD} = 2 a^2$ (giả sử theo dữ liệu chuẩn).

Chiều cao của khối chóp từ $S$ xuống đáy: $SH = \sqrt{3} a$

Thể tích:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH = \dfrac{1}{3} \cdot 2 a^2 \cdot \sqrt{3} a = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là:

$V = \dfrac{2 \sqrt{3} a^3}{3}$