Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo đề bài, ta có:
\(x^3+y^3=x^2-xy+y^2\)
hay \(\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x+y-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-xy+y^2=0\\x+y=1\end{cases}}\)
+ Với \(x^2-xy+y^2=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=\frac{5}{2}\)
+ với \(x+y=1\Rightarrow0\le x,y\le1\Rightarrow P\le\frac{1+\sqrt{1}}{2+\sqrt{0}}+\frac{2+\sqrt{1}}{1+\sqrt{0}}=4\)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=1;y=0 và \(P\ge\frac{1+\sqrt{0}}{2+\sqrt{1}}+\frac{2+\sqrt{0}}{1+\sqrt{1}}=\frac{4}{3}\)
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x=0;y=1
Vậy max P=4 và min P =4/3
1a
\(A=\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\ge\frac{6}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}}{2}\)
\(\ge10+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{4}=10+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(A_{min}=\frac{161}{16}\)
1b.\(B=\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^8+b^8}{4}\ge\frac{2}{\left(a+b\right)^2}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{\frac{\left(a^4+b^4\right)^2}{2}}{4}\)
\(\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\right]^2}{8}\ge6+\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{32}=6+\frac{1}{128}=\frac{769}{128}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Vay \(B_{min}=\frac{769}{128}\)khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bài 1:a,
A=a/b+c + b/a+c + c/a+b = a^2/ab+ac + b^2/ab+bc + c^2/ac+bc
Áp dụng BĐT dạng Angel : A > hoặc = (a+b+c)^2/ab+ac+ab+bc+ac+bc=(a+b+c)^2/2(ab+bc+ca) > hoặc = 3(ab+bc+ca)/2(ab+bc+ca)=3/2
b,làm tt câu a
Câu hỏi của bạn:
Cho \(a , b , c\) là các số thực không âm có tổng là 1. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức \(P = a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}\).
Câu trả lời chi tiết:
1. Đặt bài toán:
Ta có \(a + b + c = 1\), với \(a , b , c \geq 0\). Ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}\).
2. Phân tích và tìm GTNN (Giá trị nhỏ nhất):
Để tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\), ta sử dụng tính chất của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (hoặc một phương pháp đơn giản khác).
Vì \(a , b , c \geq 0\) và \(a + b + c = 1\), ta có thể thử phân bổ giá trị của \(a , b , c\) sao cho \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Cách dễ nhất để tìm GTNN là thử trường hợp \(a = 1 , b = 0 , c = 0\), khi đó:
\(P = 1^{2} + 2 \left(\right. 0 \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. 0 \left.\right)^{2} = 1\)
Vậy GTNN của \(P\) là 1.
3. Tìm GTLN (Giá trị lớn nhất):
Để tìm giá trị lớn nhất của \(P\), ta thử phân bổ giá trị của \(a , b , c\) sao cho biểu thức \(P = a^{2} + 2 b^{2} + 3 c^{2}\) đạt giá trị lớn nhất.
\(P = 0^{2} + 2 \left(\right. 0 \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. 1 \left.\right)^{2} = 3\)
Vậy GTLN của \(P\) là 3.
Kết luận: