Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Biêtdongsaigon - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
Bạn tham khảo link này nhé!
\(C=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3C=1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^2}+...+\frac{99}{3^{89}}-\frac{100}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow4C=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow4C< 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\left(1\right)\)
Đặt: \(B=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow3B=2+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\)
\(4B=B+3B=3-\frac{1}{3^{99}}< 3\)
\(\Rightarrow B< \frac{3}{4}\left(2\right)\)
Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow4C< B< \frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow C< \frac{3}{16}\left(đpcm\right)\)
(Đánh nhanh quá sai chỗ nào thông cảm nha :))
\(C=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+....+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
=> \(3C=1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+....+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
=> \(C+3C=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}-...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
=> \(4C=1-\frac{100}{3^{100}}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}-...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)
Đặt: \(B=-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{3^4}-...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)
=> \(3B=-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}-...+\frac{1}{3^{97}}-\frac{1}{3^{98}}\)
=> \(B+3B=-1-\frac{1}{3^{99}}\)
=> \(4B=-1-\frac{1}{3^{99}}\)
=> \(B=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{3^{99}}\)
=> \(4C=1-\frac{100}{3^{100}}+B=1-\frac{100}{3^{100}}-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}.\frac{1}{3^{99}}\)
=> \(4C=\frac{3}{4}-\frac{100}{3^{100}}-\frac{1}{4.3^{99}}< \frac{3}{4}\)
=> \(C< \frac{3}{16}\)
Câu hỏi của Ngô Văn Nam - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath
\(C=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(3C=1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-\frac{4}{3^3}+...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
\(\Rightarrow C+3C=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow4C< 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}=D\)
Xét \(D=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}\)
\(\frac{D}{3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}-\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{1}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow D+\frac{D}{3}=1-\frac{1}{3^{100}}< 1\Rightarrow\frac{4D}{3}< 1\Rightarrow D< \frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow4C< D< \frac{3}{4}\Rightarrow C< \frac{3}{16}\)
1) \(+2x+3y⋮17\)
\(\Rightarrow26x+39y⋮17\)
\(\Rightarrow\left(9x+5y\right)+17x+34y⋮17\)
Mà \(17x+34y⋮17\)
\(\Rightarrow9x+5y⋮17\)
\(+9x+5y⋮17\)
\(\Rightarrow36x+20y⋮17\)
\(\Rightarrow\left(2x+3y\right)+34x+17y⋮17\)
Mà \(34x+17y⋮17\)
\(\Rightarrow2x+3y⋮17\)
bài toán chứng minh tổng \(C = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^{2}} + \frac{3}{3^{3}} + \frac{4}{3^{4}} + \hdots + \frac{99}{3^{99}} - \frac{100}{3^{100}} < \frac{3}{16}\). Thầy sẽ hướng dẫn em từng bước chi tiết để giải bài này nhé!
1. Nhận xét về dấu của các số hạng
Ta thấy dấu của các số hạng thay đổi như sau:
2. Đặt tổng và phân tích
Xét tổng:
\(S = \sum_{k = 1}^{100} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} \frac{k}{3^{k}}\)
Ta cần chứng minh \(S < \frac{3}{16}\).
3. Tính tổng tổng quát
Xét tổng tổng quát:
\(S \left(\right. x \left.\right) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} k x^{k}\)
với \(x = \frac{1}{3}\).
Ta biết rằng:
\(\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k} = \frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} (\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid x \mid < 1 )\)
Áp dụng cho tổng đan dấu:
\(S \left(\right. x \left.\right) = \sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} k x^{k} = \frac{x}{\left(\right. 1 + x \left.\right)^{2}}\)
Thay \(x = \frac{1}{3}\):
\(S \left(\right. \frac{1}{3} \left.\right) = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\left(\right. 1 + \frac{1}{3} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\left(\right. \frac{4}{3} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{16}{9}} = \frac{3}{16}\)
4. So sánh \(C\) và \(S\)
Tổng \(C\) của em là tổng hữu hạn:
\(C = \sum_{k = 1}^{100} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} \frac{k}{3^{k}}\)
Trong khi \(S\) là tổng vô hạn:
\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k + 1} \frac{k}{3^{k}} = \frac{3}{16}\)
Ta thấy:
Do đó, tổng \(C\) là tổng của một dãy đan dấu có độ lớn giảm dần, nên:
\(C < S = \frac{3}{16}\)
5. Kết luận
Vậy ta có:
\(C = \frac{1}{3} - \frac{2}{3^{2}} + \frac{3}{3^{3}} + \hdots - \frac{100}{3^{100}} < \frac{3}{16}\)
Chú ý: Nếu em chưa học về chuỗi vô hạn, có thể dùng phương pháp đánh giá từng cặp số hạng để chứng minh \(C < \frac{3}{16}\). Em hiểu chưa nào? Nếu còn thắc mắc, cứ hỏi thầy nhé! 😊