đi 2 số \(a , b\) bất kỳ rồi thêm vào số \(c = 2 a b - a - b + 1\). Sau một số lần thực hiện, trên bảng chỉ còn lại một số. Hỏi số đó có thể là số nào?

Hướng dẫn giải:

1. Nhận xét về phép biến đổi:
2. • Phép biến đổi mỗi bước là:
     \(c = 2 a b - a - b + 1 = \left(\right. 2 a - 1 \left.\right) \left(\right. 2 b - 1 \left.\right) + 1.\)
   • Đặt \(f \left(\right. x \left.\right) = 2 x - 1\), ta có thể viết lại:
     \(f \left(\right. c \left.\right) = f \left(\right. a \left.\right) \cdot f \left(\right. b \left.\right) .\)
   • Như vậy, mỗi lần thay \(a , b\) bằng \(c\), giá trị \(f \left(\right. c \left.\right)\) bằng tích của \(f \left(\right. a \left.\right)\) và \(f \left(\right. b \left.\right)\).
3. Tính bất biến (invariant):
4. • Ban đầu, trên bảng có các số \(\frac{48}{k}\) với \(k = 1 , 2 , \ldots , 100\).
   • Tính \(f \left(\right. \frac{48}{k} \left.\right) = 2 \cdot \frac{48}{k} - 1 = \frac{96 - k}{k}\).
   • Tích của tất cả \(f \left(\right. \frac{48}{k} \left.\right)\) ban đầu là:
     \(\prod_{k = 1}^{100} \frac{96 - k}{k} = \frac{95 \cdot 94 \cdot \hdots \cdot 1}{1 \cdot 2 \cdot \hdots \cdot 100} = \frac{95 !}{100 !} = \frac{1}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96} .\)
   • Sau mỗi bước, tích \(\prod f\) không đổi (vì \(f \left(\right. c \left.\right) = f \left(\right. a \left.\right) \cdot f \left(\right. b \left.\right)\), và ta thay \(f \left(\right. a \left.\right) \cdot f \left(\right. b \left.\right)\) bằng \(f \left(\right. c \left.\right)\)).
   • Cuối cùng, khi còn lại một số \(x\), ta có:
     \(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96} .\)
   • Giải phương trình \(2 x - 1 = \frac{1}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}\), ta được:
     \(x = \frac{1 + \frac{1}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}}{2} = \frac{1}{2} \left(\right. 1 + \frac{1}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96} \left.\right) .\)
5. Kết luận:
6. • Số cuối cùng còn lại trên bảng là:
     \(\boxed{\frac{1}{2} \left(\right. 1 + \frac{1}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96} \left.\right)} .\)

Giải thích ngắn gọn:

• Mỗi lần thay \(a , b\) bằng \(c\), đại lượng \(\prod \left(\right. 2 x - 1 \left.\right)\) (tích của tất cả \(2 x - 1\) trên bảng) không thay đổi.
• Ban đầu, tích này bằng \(\frac{1}{100 \cdot 99 \cdot \hdots \cdot 96}\).
• Khi còn 1 số \(x\), ta có \(2 x - 1 = \frac{1}{100 \cdot 99 \cdot \hdots \cdot 96}\), từ đó suy ra \(x\).

Đáp án cuối cùng:

\(\boxed{\frac{1}{2} \left(\right. 1 + \frac{1}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96} \left.\right)}\)