Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\)
Khai triển cả 2 vế ta được \(\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)
=>\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=0\end{cases}}\)=>\(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\Rightarrow x=y\)
=>\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{x}+\frac{1}{z}=2\Rightarrow\frac{4}{x^2}+\frac{4}{xz}+\frac{1}{z^2}=4\)(1)
\(\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=\frac{2}{x^2}-\frac{1}{z^2}=4\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\frac{2}{x^2}+\frac{4}{xz}+\frac{2}{z^2}=0\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xz}+\frac{1}{z^2}=0\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow x=y=-z\)
=> \(P=\left(x+2y+z\right)^{2019}=\left(2y\right)^{2019}\)
à thêm cái này nữa. Sorry viết thiếu
Vì x=y=-z\(\Rightarrow\frac{2}{x}-\frac{1}{x}=2\Rightarrow\frac{1}{x}=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}.\)
lúc đó \(P=\left(2.\frac{1}{2}\right)^{2019}=1\)
Bài 2:
Tìm GTLN: \(x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right)^2-3\Rightarrow xy\ge-3\Rightarrow-7xy\le21\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\le2.3+21=27\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-3\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3},y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3},y=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Tìm GTNN:
Chứng minh \(xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+xy\right)\)
\(\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{3}{2}\Rightarrow xy\le1\Rightarrow-7xy\ge-7\)
\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\ge2.3-7=-1\)
Chúc bạn học tốt.
Làm bài 1 ha :)
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(\left(1-x^3\right)+\left(1-y^3\right)+\left(1-z^3\right)\ge3\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\ge\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)
Mặt khác:\(\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\le\frac{3-3xyz}{3}=1-xyz\)
Khi đó:
\(\left(1-xyz\right)^3\ge\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
Giống Holder ghê vậy ta :D
- Chỉ có vận dụng linh hoạt các phương pháp đã học thôi, chẳng có mẹo nào đâu :>>
bài 1:
a) x2 + 10x + 26 + y2 + 2y
= (x2 + 10x + 25) + (y2 + 2y + 1)
= (x + 5)2 + (y + 1)2
b) z2 - 6z + 5 - t2 - 4t
= (z - 3)2 - (t + 2)2
c) x2 - 2xy + 2y2 + 2y + 1
= (x2 - 2xy + y2) + (y2 + 2y + 1)
= (x - y)2 + (y + 1)2
d) 4x2 - 12x - y2 + 2y + 1
= (4x2 - 12x ) - (y2 + 2y + 1)
= ......................................
ok mk nhé!! 4545454654654765765767587876968345232513546546575675767867876876877687975675
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ tiến hành như sau:
Bước 1: Phân tích và đơn giản hóa phương trình (1)
Phương trình (1) là: x2y−2xy−xy2−x+y+2=0
Ta có thể nhóm các hạng tử chứa xy: xy(x−2−y)−(x−y−2)=0 xy(x−y−2)+(2+y−x)=0 xy(x−y−2)−(x−y−2)=0
Đặt t=x−y−2, phương trình trở thành: xyt−t=0 t(xy−1)=0
Điều này dẫn đến hai trường hợp:
Trường hợp 1: t=0 x−y−2=0 y=x−2
Trường hợp 2: xy−1=0 xy=1 y=x1 (với x=0)
Bước 2: Phân tích và đơn giản hóa phương trình (2)
Phương trình (2) là: x(4−x−y)=2 4x−x2−xy=2 x2+xy−4x+2=0
Bước 3: Giải hệ phương trình cho từng trường hợp của phương trình (1)
Trường hợp 1: y=x−2
Thay y=x−2 vào phương trình (2): x2+x(x−2)−4x+2=0 x2+x2−2x−4x+2=0 2x2−6x+2=0 x2−3x+1=0
Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: Δ=(−3)2−4(1)(1)=9−4=5 x1=2(1)−(−3)+5=23+5 x2=2(1)−(−3)−5=23−5
Với mỗi giá trị của x, ta tìm được giá trị tương ứng của y: Nếu x1=23+5, thì y1=x1−2=23+5−2=23+5−4=25−1 Vậy cặp số thứ nhất là: (23+5,25−1)
Nếu x2=23−5, thì y2=x2−2=23−5−2=23−5−4=2−5−1 Vậy cặp số thứ hai là: (23−5,2−5−1)
Trường hợp 2: y=x1
Thay y=x1 vào phương trình (2): x2+x(x1)−4x+2=0 x2+1−4x+2=0 x2−4x+3=0
Giải phương trình bậc hai này: (x−1)(x−3)=0 x3=1 hoặc x4=3
Với mỗi giá trị của x, ta tìm được giá trị tương ứng của y: Nếu x3=1, thì y3=11=1 Vậy cặp số thứ ba là: (1,1)
Nếu x4=3, thì y4=31 Vậy cặp số thứ tư là: (3,31)
Bước 4: Kết luận
Vậy các cặp số (x,y) đồng thời thỏa mãn hai đẳng thức đã cho là: (23+5,25−1) (23−5,2−5−1) (1,1) (3,31)
Chúng ta có thể kiểm tra lại các nghiệm này bằng cách thay chúng vào hai phương trình ban đầu để đảm bảo tính chính xác.