\(A=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2023\cdot2024}\)

\(=\frac11-\frac12+\frac12-\frac13+\cdots+\frac{1}{2023}-\frac{1}{2024}\)

\(=\frac11-\frac{1}{2024}=\frac{2023}{2024}\)

A=1⋅21​+2⋅31​+3⋅41​+⋯+2023⋅20241​

\(= \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \hdots + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024}\)

\(= \frac{1}{1} - \frac{1}{2024} = \frac{2023}{2024}\)

Đặt \(A=1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2023}\)

=>\(2A=2+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{2024}\)

=>\(2A-A=2+2^2+2^3+2^4+\cdots+2^{2024}-1-2-\cdots-2^{2023}\)

=>\(A=2^{2024}-1\)

Ta có: \(2^{2024}-\left(1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{2023}\right)\)

\(=2^{2024}-\left(2^{2024}-1\right)=1\)

2^ 2024 -( 1 + 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 +...+2^ 2023 )

2^2024 -(2^2024-1)

1

Nhưng dài lắm chắc lớp 6 ko hiểu đc nên tui chỉ viết ngắn gọn

BẠN THÔNG CẢM

ta nhận xét rằng mỗi số hạng trong tổng \(M\) đều là số dương. Do đó, \(M > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức này cho từng số hạng của \(M\), ta có: \(M = \sum_{k = 1}^{2025} \frac{k}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{3}} < \sum_{k = 1}^{2025} \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)

Đặt \(j = k + 1\). Khi \(k = 1\) thì \(j = 2\), và khi \(k = 2025\) thì \(j = 2026\). Do đó, \(\sum_{k = 1}^{2025} \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} = \sum_{j = 2}^{2026} \frac{1}{j^{2}}\).

Giá trị của \(\pi \approx 3.14159\), nên \(\pi^{2} \approx 9.8696\). \(\frac{\pi^{2}}{6} \approx \frac{9.8696}{6} \approx 1.6449\). Vậy \(\sum_{j = 2}^{2026} \frac{1}{j^{2}} < 1.6449 - 1 = 0.6449\).

Do đó, \(M < 0.6449\).

\(=\frac{1}{2^{3}}+\frac{2}{3^{3}}+\frac{3}{4^{3}}+...+\frac{2025}{202 6^{3}}\) \(M > \frac{1}{2^{3}} = \frac{1}{8} = 0.125\)

Ta có \(0.125 < M < 0.6449\). Vì \(M\) nằm trong khoảng \(\left(\right. 0.125 , 0.6449 \left.\right)\), nên \(M\) không thể là một số tự nhiên

Do đó, giá trị của \(M\) không phải là số tự nhiên.

đây mik cx ko chắc chắn lắm

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề về so sánh phân số, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi, thi violympic. Hôm nay olm sẽ hướng dẫn em cách giải dạng này như sau.

                Xét dãy số: 2; 3; 4;...; 2023

     Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 2 - 1  = 1

      Số số hạng của dãy số trên là: (2023 - 2) : 1  + 1  = 2022

     Vì \(\dfrac{3}{2^2}\) = \(\dfrac{3}{4}\) < 1 ; \(\dfrac{8}{3^2}\) = \(\dfrac{3^2-1}{3^2}\) < 1;...; \(\dfrac{2023^2-1}{2023^2}\) < 1 

                 Vậy A là tổng của 2022 phân số mã mỗi phân số đều nhỏ hơn 1

                  ⇒ A < 1 x 2022 = 2022 (1) 

                  Mặt  khác ta có: 
               A =     \(\dfrac{3}{2^2}\) + \(\dfrac{8}{3^2}\) + \(\dfrac{15}{4^2}\) + \(\dfrac{2023^2-1}{2023^2}\)

               A =  1 - \(\dfrac{1}{2^2}\) + 1  - \(\dfrac{1}{3^2}\) + ... + 1 - \(\dfrac{1}{2023^2}\)

              A =  (1 + 1 + 1+ ...+ 1) - (\(\dfrac{1}{2^2}\)  + \(\dfrac{1}{3^2}\)+...+ \(\dfrac{1}{2023^2}\))

              A = 2022 - (\(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + .... + \(\dfrac{1}{2023^2}\))

             Đặt B = \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{3^2}\) + .... + \(\dfrac{1}{2023^2}\)

                \(\dfrac{1}{2^2}\)    < \(\dfrac{1}{1.2}\)  = \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\)

                  \(\dfrac{1}{3^2}\) < \(\dfrac{1}{2.3}\)   =  \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\)

                   \(\dfrac{1}{4^2}\) < \(\dfrac{1}{3.4}\) = \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\)

                    ............................

                 \(\dfrac{1}{2023^2}\)< \(\dfrac{1}{2022.2023}\) = \(\dfrac{1}{2022}\) - \(\dfrac{1}{2023}\)

                Cộng vế với vế ta có:

             B <  1 - \(\dfrac{1}{2023}\)

      ⇒ - B > -1 + \(\dfrac{1}{2023}\)

⇒ A = 2022 - B > 2022 - 1 + \(\dfrac{1}{2023}\) = 2021 + \(\dfrac{1}{2023}\) ⇒ A > 2021 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có: 

            2021 < A < 2022

Vậy A không phải là số tự nhiên (đpcm)

A = 3. \(\dfrac{1}{1.2}\) - 5. \(\dfrac{1}{2.3}\) + 7. \(\dfrac{1}{3.4}\) + ... + 15. \(\dfrac{1}{7.8}\) -17 . \(\dfrac{1}{8.9}\)

a)Ta có: \(\frac{3}{1.4}=\frac{4-1}{1.4}=1-\frac{1}{4}\)

\(\frac{3}{4.7}=\frac{7-4}{4.7}=\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\)

... . . . .

\(\frac{3}{n\left(n+3\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\)

\(\Leftrightarrow S=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}< 1^{\left(đpcm\right)}\)

b) Ta có: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}>\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)

   \(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{9.10}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}=\frac{2}{5}\)

Suy ra \(\frac{2}{5}< S\) (1)

Ta lại có: \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{9^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}\)

Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{8.9}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}\)

Từ đó suy ra S < 8/9

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

a)=>A=\(1+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}\right)\)

Đặt tổng trong ngoặc là M

=>M=\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{50^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)\(=1-\frac{1}{50}< 1\)

Khi đó A=1+M (M<1)

Ta có công thức :1+x<2 nếu x<1

=>A<1

bn ơi A < 2 makk

1. a) 2B = 1 + 1/2 + 1/2²+...+1/2⁹⁸

B - B = (1+1/2+...+1/2⁹⁸) - (1/2+....+1/2⁹⁹)

B = 1 - 2⁹⁹ => B < 1

b) Làm tương tự như câu a, ra là (1 - 1/3⁹⁹) : 2 = 1/2 - 1/2.3⁹⁹(C bé hơh 1/2)

1. a). Theo đầu bài ta có:
 \(B=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{98}+\left(\frac{1}{2}\right)^{99}\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{98}}+\frac{1}{2^{99}}\)
\(\Leftrightarrow B=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{97}}+\frac{1}{2^{98}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{98}}+\frac{1}{2^{99}}\right)\)
\(\Leftrightarrow B=1-\frac{1}{2^{99}}< 1\)( đpcm )