Đáp án A

Theo định lí 3 đường vuông góc, ta có

Ta cũng có HKAM là hình chữ nhật, đặt A'H = h ta có

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a\sqrt{3},0,0),\ D(0,a,0),\ C(a\sqrt{3},a,0)$.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $\vec{SB} = B-S = (a\sqrt{3},0,-h)$

Vector $\vec{SC} = C-S = (a\sqrt{3},a,-h)$

Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$.

Vector pháp tuyến của $(SBC)$:

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a\sqrt{3} & 0 & -h \\a\sqrt{3} & a & -h\end{vmatrix} = (0\cdot(-h)-(-h)\cdot a, -((a\sqrt{3})(-h)-(-h)(a\sqrt{3})), (a\sqrt{3})(a)-0(a\sqrt{3})) = (ah, 0, a^2\sqrt{3})$

Chiều cao $h$ theo góc với đáy:

$\tan 60^\circ = \dfrac{|n_z|}{\sqrt{n_x^2+n_y^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{(ah)^2+0^2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{ah} = \dfrac{a\sqrt{3}}{h}$

Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{a\sqrt{3}}{h} = \sqrt{3} \Rightarrow h = a$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a\sqrt{3} \cdot a = 3a^2$

Thể tích khối chóp:

$V_{\text{chóp}} = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3a^2 \cdot a = a^3$

Khối cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính $R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2}$, với $AC = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a$

Vậy bán kính:

$R = \dfrac{\sqrt{SA^2 + AC^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{a^2 + (2a)^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{5a^2}}{2} = \dfrac{a\sqrt{5}}{2}$

Thể tích khối cầu:

$V_{\text{cầu}} = \dfrac{4}{3} \pi R^3 = \dfrac{4}{3} \pi \left(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot \dfrac{5\sqrt{5} a^3}{8} = \dfrac{5\sqrt{5} \pi a^3}{6}$

Đáp án A

Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB cân tại S do đó SH⊥AB mà     (SAB)⊥   (ABCD) nên SH⊥   (ABCD). Góc giữa SC và đáy là SCH =60⁰.

Tam giác BHC vuông tại B nên 

Tam giác SHC vuông tại H nên SH = SC.tanSCH

Do vậy 

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Trung điểm $H$ của $AB$ là

$H\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$

và $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua $H$, giả sử

$S\left(\dfrac{a}{2},0,h\right)$.

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $\theta = 60^\circ$.

Vector $\vec{SC}$ là

$\vec{SC} = \left(a - \dfrac{a}{2},\ 2a - 0,\ 0 - h \right) = \left(\dfrac{a}{2},\ 2a,\ -h\right)$

Chiều dài trong mặt phẳng đáy:

$SC_{xy} = \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + (2a)^2} = \sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 4a^2} = \sqrt{\dfrac{17a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt{17}}{2}$

Góc giữa $SC$ và mặt đáy:

$\tan \theta = \dfrac{|SC_z|}{SC_{xy}} = \dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}}$

Vì $\theta = 60^\circ \Rightarrow \tan 60^\circ = \sqrt{3}$, nên

$\dfrac{h}{\dfrac{a\sqrt{17}}{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow h = \dfrac{a \sqrt{51}}{2}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot 2a = 2a^2$

Vậy: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{51}}{2} = \dfrac{a^3 \sqrt{51}}{3}$

Đáp án: $V = \dfrac{a^3 \sqrt{51}}{3}$

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(1,0,0),\ D(0,3,0),\ C(1,3,0)$.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $\vec{SC} = C-S = (1,3,-h)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ là $60^\circ$, nên:

$\tan 60^\circ = \dfrac{|SC_z|}{\sqrt{SC_x^2 + SC_y^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \dfrac{h}{\sqrt{10}}$

Vì $\tan 60^\circ = \sqrt{3} \Rightarrow \dfrac{h}{\sqrt{10}} = \sqrt{3} \Rightarrow h = \sqrt{30}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = 1 \cdot 3 = 3$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot 3 \cdot \sqrt{30} = \sqrt{30}$

Đáp án D

Dễ thấy 

Lại có ∆SAC vuông tại A

=> AC = SA = 

Vậy VS.ABCD  = 

Đáp án A

ĐÁP ÁN: C

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,a\sqrt{3},0),\ C(a,a\sqrt{3},0)$.

Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, giả sử $S(0,0,h)$.

Vector $\vec{SC} = C-S = (a, a\sqrt{3}, -h)$

Vector $\vec{SB} = B-S = (a,0,-h)$

Góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$:

Vector pháp tuyến của $(SAB)$:

$\vec{n}_{SAB} = \vec{SA} \times \vec{SB} = (0,0,h) \times (a,0,-h) = (0,ah,0)$

Chiều cao của $SC$ theo pháp tuyến:

$\dfrac{|\vec{SC} \cdot \vec{n}_{SAB}|}{|\vec{n}_{SAB}|} = \dfrac{|(a,a\sqrt{3},-h) \cdot (0,ah,0)|}{ah} = \sqrt{3}a$

Góc $\theta = 30^\circ \Rightarrow \tan 30^\circ = \dfrac{|\text{SC vuông góc với (SAB)}|}{|SC_{SAB}|} \Rightarrow |SC_{SAB}| = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} a = 3a$

Chiều cao $SA = h = a\sqrt{3}$

Diện tích đáy:

$S_{ABCD} = AB \cdot AD = a \cdot a\sqrt{3} = a^2\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SA = \dfrac{1}{3} \cdot a^2\sqrt{3} \cdot a\sqrt{3} = a^3$

Vậy thể tích: $V = a^3$

ĐÁP ÁN: A

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với đáy nên suy ra $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy đi qua giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$, tức là tâm $O$ của hình chữ nhật.

⇒ $O\left(\dfrac{a}{2},a,0\right)$, đặt $S\left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.

Xét khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$:

$\vec{AB} = (a,0,0),\ \vec{SD} = \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right)$.

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau:

$d = \dfrac{|(\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}))|}{|\vec{AB} \times \vec{SD}|}$

với $\vec{AS} = \left(\dfrac{a}{2},a,h\right)$.

Tính: $\vec{AB} \times \vec{SD} = (a,0,0) \times \left(-\dfrac{a}{2},a,-h\right) = (0,ah,a^2)$.

$\vec{AS} \cdot (\vec{AB} \times \vec{SD}) = \dfrac{a}{2}\cdot 0 + a\cdot ah + h\cdot a^2 = a^2h + a^2h = 2a^2h$.

$|\vec{AB} \times \vec{SD}| = \sqrt{(ah)^2 + a^4} = a\sqrt{h^2 + a^2}$.

Suy ra: $d = \dfrac{2a^2h}{a\sqrt{h^2 + a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}}$.

Theo đề:
$\dfrac{2ah}{\sqrt{h^2 + a^2}} = a\sqrt{3}$

⇒ $\dfrac{2h}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \sqrt{3}$

Giải ra: $\dfrac{4h^2}{h^2 + a^2} = 3 \Rightarrow 4h^2 = 3h^2 + 3a^2 \Rightarrow h^2 = 3a^2$

⇒ $h = a\sqrt{3}$

Thể tích khối chóp:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO$

$S_{ABCD} = 2a^2,\quad SO = h = a\sqrt{3}$

Suy ra: $V = \dfrac{1}{3} \cdot 2a^2 \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}a^3$

Đáp án A.

Gọi  và (SBM) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD)

Có: AC = 

Vì 

SH là đường cao của hình chóp S.OMC nên