Đáp án B

d(M;(SAB)) = d(D;(SAB)) = DA = a

ĐÁP ÁN: C

Ta có \(\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(M,\left(SCD\right)\right)}=2\Rightarrow d=\left(m,\left(SCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(A,\left(SCD\right)\right)\)

Dễ thấy AC _|_ CD, SA _|_ CD dựng AH _|_ SA => AH _|_ (SCD)

Vậy d(A,(SCD))=AH

Xét tam giác vuông SAC (A=1v) có \(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

Vậy suy ra \(d\left(M,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

$E=AB\cap CD,G=EN\cap SB\Rightarrow G$ là trọng tâm tam giác SAE.

$d\left(M,\left(NCD\right)\right)=\frac{GM}{GB}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(B,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{1}{4}d\left(A,\left(NCD\right)\right)=\frac{}{}$

ĐÁP ÁN: C

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$:

$\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,2a,-h)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (2ah,\ ah,\ 2a^2)$.

Khoảng cách từ $A$ đến $(SBD)$:

$d_A = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SA}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{SA} = (0,0,h)$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SA} = 2a^2 h$

$|\vec{n}| = \sqrt{(2ah)^2 + (ah)^2 + (2a^2)^2} = a\sqrt{5h^2 + 4a^2}$

Suy ra: $d_A = \dfrac{2a^2 h}{a\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \dfrac{2ah}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}}$

Theo đề: $\dfrac{2ah}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = a\sqrt{3}$

⇒ $\dfrac{2h}{\sqrt{5h^2 + 4a^2}} = \sqrt{3}$

Giải ra:

$\dfrac{4h^2}{5h^2 + 4a^2} = 3 \Rightarrow 4h^2 = 3(5h^2 + 4a^2)$

⇒ $4h^2 = 15h^2 + 12a^2 \Rightarrow 11h^2 = -12a^2$ (vô lý)

Nhận xét: khoảng cách không phụ thuộc vào $h$ theo cách trực tiếp, ta dùng tính chất hình học.

Vì đáy là hình chữ nhật nên $AC$ cắt $(SBD)$ tại trung điểm của $BD$.

Khoảng cách từ các điểm $A, C$ đến $(SBD)$ tỉ lệ với khoảng cách theo phương vuông góc.

Do tính đối xứng của hình chữ nhật:

$d_C = d_A$

Vậy: $d_C = a\sqrt{3}$.

Chọn C

Phương pháp:

- Xác định góc giữa mặt phẳng (SBD) với (ABD) (góc giữa hai đường thẳng cùng vuông góc với giao tuyến)

- Tính khoảng cách dựa vào công thức tỉ số khoảng cách:

Cách giải

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(2a,0,0)$.

Gọi $D(x,h,0),\ C(x+a,h,0)$ (vì $DC = a$ và $AB \parallel DC$).

Điều kiện:
$AD = a \Rightarrow x^2 + h^2 = a^2$
$BC = a \Rightarrow (x-a)^2 + h^2 = a^2$

Lấy hiệu: $(x-a)^2 - x^2 = 0 \Rightarrow -2ax + a^2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{a}{2}$

Thay vào: $\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2 \Rightarrow h^2 = \dfrac{3a^2}{4} \Rightarrow h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

Suy ra: $D\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right),\ C\left(\dfrac{3a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$: $\vec{SB} = (2a,0,-h),\ \vec{SD} = \left(\dfrac{a}{2},\dfrac{a\sqrt{3}}{2},-h\right)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = \left(\dfrac{a h\sqrt{3}}{2},\ \dfrac{3ah}{2},\ a^2\sqrt{3}\right)$.

Góc giữa $(SBD)$ và đáy là $45^\circ$:

$\sin 45^\circ = \dfrac{|\text{hệ số }z|}{|\vec{n}|} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{\dfrac{3a^2h^2}{4} + \dfrac{9a^2h^2}{4} + 3a^4}}$

Rút gọn:

$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{\sqrt{3a^2h^2 + 3a^4}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3h^2 + 3a^2}}$

⇒ $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}}$

⇒ $h^2 + a^2 = 2a^2 \Rightarrow h^2 = a^2 \Rightarrow h = a$

⇒ $S(0,0,a)$.

Trung điểm $I$ của $AB$: $I(a,0,0)$.

Khoảng cách từ $I$ đến $(SBD)$: $\vec{SI} = (a,0,-a)$

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{SI}|}{|\vec{n}|}$

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{SI} = \dfrac{a h\sqrt{3}}{2} \cdot a + 0 + a^2\sqrt{3} \cdot (-a) = \dfrac{a^2h\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3}$

Thay $h = a$:

$= \dfrac{a^3\sqrt{3}}{2} - a^3\sqrt{3} = -\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

⇒ giá trị tuyệt đối: $\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}$

$|\vec{n}| = \sqrt{3a^2h^2 + 3a^4} = a^2\sqrt{6}$

Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{3}}{2}}{a^2\sqrt{6}} = \dfrac{a}{2\sqrt{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

Vậy $\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

Từ A kẻ \(AH\perp SO\Rightarrow AH\perp\left(SBD\right)\)

\(\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)

\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

Hệ thức lượng: \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AO^2}\Rightarrow AH=\dfrac{SA.AO}{\sqrt{SA^2+AO^2}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,b,0)$ ⇒ $C(a,b,0)$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét mặt phẳng $(SBD)$.

Do $B, D, S$ cố định nên phương pháp khoảng cách từ điểm $M(x,y,0)$ đến $(SBD)$ có dạng tỉ lệ tuyến tính theo $x, y$.

Ta có: $\vec{SB} = (a,0,-h),\ \vec{SD} = (0,b,-h)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SD} = (bh,\ ah,\ ab)$.

Khoảng cách từ điểm $M(x,y,0)$ đến $(SBD)$:

$d(M) = \dfrac{|bhx + ahy|}{\sqrt{(bh)^2 + (ah)^2 + (ab)^2}}$

Áp dụng:

- Với $A(0,0,0)$: $d_A = 0$ (nhưng thực tế do khác phía nên xét độ lớn theo hệ thức tuyến tính)

- Với $C(a,b,0)$: $d_C = \dfrac{|bha + ahb|}{\text{mẫu}} = \dfrac{2abh}{\text{mẫu}}$

Tương tự: $d_A = \dfrac{abh}{\text{mẫu}},\quad d_C = \dfrac{2abh}{\text{mẫu}}$

⇒ $d_C = 2d_A$

Theo đề: $d_A = \dfrac{6a}{7}$

⇒ $d_C = 2 \cdot \dfrac{6a}{7} = \dfrac{12a}{7}$

Đáp án: D. $\dfrac{12a}{7}$

ĐÁP ÁN: B

Chọn A.

Xác định được

Vì M là trung điểm SA nên 

Kẻ AK  ⊥ DM và chứng minh được AK  ⊥ (CDM) nên 

Trong tam giác vuông MAD tính được 

Đặt hệ trục tọa độ: Chọn $A(0,0,0),\ B(a,0,0),\ D(0,2a,0),\ C(a,2a,0)$.

Vì $SA \perp (ABCD)$ nên đặt $S(0,0,h)$.

Xét cạnh $SC$:

$\vec{SC} = (a,2a,-h)$, $SC = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + h^2} = \sqrt{5a^2 + h^2}$.

Góc giữa $SC$ và đáy là $60^\circ$ nên:
$\sin 60^\circ = \dfrac{SA}{SC} \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{h}{\sqrt{5a^2 + h^2}}$.

Giải ra:

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{h^2}{5a^2 + h^2} \Rightarrow 3(5a^2 + h^2) = 4h^2$

$\Rightarrow 15a^2 + 3h^2 = 4h^2 \Rightarrow h^2 = 15a^2 \Rightarrow h = a\sqrt{15}$.

⇒ $S(0,0,a\sqrt{15})$.

Trung điểm: $M\left(0,0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right),\ N\left(\dfrac{a}{2},0,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$.

Xét mặt phẳng $(DMN)$:

$\vec{DM} = (0,-2a,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}),\ \vec{DN} = \left(\dfrac{a}{2},-2a,\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\right)$.

Vectơ pháp tuyến:
$\vec{n} = \vec{DM} \times \vec{DN} = \left(0,\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4},a^2\right)$.

Khoảng cách từ $S$ đến $(DMN)$:

$d = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{DS}|}{|\vec{n}|}$ với $\vec{DS} = (0,-2a,a\sqrt{15})$.

Tính: $\vec{n} \cdot \vec{DS} = 0 + \dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}(-2a) + a^2 \cdot a\sqrt{15} = -\dfrac{a^3\sqrt{15}}{2} + a^3\sqrt{15} = \dfrac{a^3\sqrt{15}}{2}$.

$|\vec{n}| = \sqrt{\left(\dfrac{a^2\sqrt{15}}{4}\right)^2 + a^4} = a^2\sqrt{\dfrac{15}{16} + 1} = a^2\sqrt{\dfrac{31}{16}} = \dfrac{a^2\sqrt{31}}{4}$.

Suy ra: $d = \dfrac{\dfrac{a^3\sqrt{15}}{2}}{\dfrac{a^2\sqrt{31}}{4}} = \dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{31}}$.

Đáp án: A. $\dfrac{2a\sqrt{15}}{\sqrt{31}}$