Câu hỏi của Tăng Nguyên Phúc

Question

Bài 1: Cho tam giác ABC, I là giao điểm ba đường phân giác trong. K là giao điểm các phân giác ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC. Kẻ IM _|_ BC tại M, KN _|_ BC tại N. CMR: a) I, A, K thẳng hàng. b) CM = BM.

Bài 2: Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD = CE. CMR: tam giác ABC cân.

Nguyễn Việt Hoàn · Accepted Answer

a) Chứng minh I, A, K thẳng hàng:

Ta có BI và CI là các đường phân giác trong của góc B và C, nên góc IBC = 1/2 góc ABC và góc ICB = 1/2 góc ACB.
Ta có BK và CK là các đường phân giác ngoài của góc B và C, nên góc KBC = 1/2 góc ngoài tại đỉnh B và góc KCB = 1/2 góc ngoài tại đỉnh C.
Ta có góc ngoài tại đỉnh B = góc ABC + góc ACB, nên góc KBC = 1/2 (góc ABC + góc ACB).
Ta có góc ngoài tại đỉnh C = góc ACB + góc ABC, nên góc KCB = 1/2 (góc ACB + góc ABC).
Ta có góc IBC + góc ICB + góc BIC = 180 độ, nên góc BIC = 180 độ - (góc IBC + góc ICB).
Ta có góc KBC + góc KCB + góc BKC = 180 độ, nên góc BKC = 180 độ - (góc KBC + góc KCB).
Ta có góc IBC + góc ICB = 1/2 (góc ABC + góc ACB) và góc KBC + góc KCB = 1/2 (góc ABC + góc ACB), nên góc IBC + góc ICB = góc KBC + góc KCB.
Suy ra, góc BIC = góc BKC.
Ta có góc BIC + góc AIK = 180 độ (vì I, A, K thẳng hàng), nên góc AIK = 180 độ - góc BIC.
Ta có góc BKC + góc AKI = 180 độ (vì K, A, I thẳng hàng), nên góc AKI = 180 độ - góc BKC.
Vì góc BIC = góc BKC, nên góc AIK = góc AKI.
Suy ra, I, A, K thẳng hàng.

b) Chứng minh CM = BM:

Ta có IM vuông góc với BC tại M, nên IM là đường cao của tam giác IBC.
Ta có KN vuông góc với BC tại N, nên KN là đường cao của tam giác KBC.
Ta có góc IBC = góc ICB (vì I là giao điểm của các đường phân giác trong), nên tam giác IBC là tam giác cân tại I.
Suy ra, IM là đường trung tuyến của tam giác IBC, nên CM = BM.

Kết luận:

a) I, A, K thẳng hàng.
b) CM = BM.

Câu trả lời:

a) Chứng minh I, A, K thẳng hàng:

Ta có BI và CI là các đường phân giác trong của góc B và C, nên góc IBC = 1/2 góc ABC và góc ICB = 1/2 góc ACB.
Ta có BK và CK là các đường phân giác ngoài của góc B và C, nên góc KBC = 1/2 góc ngoài tại đỉnh B và góc KCB = 1/2 góc ngoài tại đỉnh C.
Ta có góc ngoài tại đỉnh B = góc ABC + góc ACB, nên góc KBC = 1/2 (góc ABC + góc ACB).
Ta có góc ngoài tại đỉnh C = góc ACB + góc ABC, nên góc KCB = 1/2 (góc ACB + góc ABC).
Ta có góc IBC + góc ICB + góc BIC = 180 độ, nên góc BIC = 180 độ - (góc IBC + góc ICB).
Ta có góc KBC + góc KCB + góc BKC = 180 độ, nên góc BKC = 180 độ - (góc KBC + góc KCB).
Ta có góc IBC + góc ICB = 1/2 (góc ABC + góc ACB) và góc KBC + góc KCB = 1/2 (góc ABC + góc ACB), nên góc IBC + góc ICB = góc KBC + góc KCB.
Suy ra, góc BIC = góc BKC.
Ta có góc BIC + góc AIK = 180 độ (vì I, A, K thẳng hàng), nên góc AIK = 180 độ - góc BIC.
Ta có góc BKC + góc AKI = 180 độ (vì K, A, I thẳng hàng), nên góc AKI = 180 độ - góc BKC.
Vì góc BIC = góc BKC, nên góc AIK = góc AKI.
Suy ra, I, A, K thẳng hàng.

b) Chứng minh CM = BM:

Ta có IM vuông góc với BC tại M, nên IM là đường cao của tam giác IBC.
Ta có KN vuông góc với BC tại N, nên KN là đường cao của tam giác KBC.
Ta có góc IBC = góc ICB (vì I là giao điểm của các đường phân giác trong), nên tam giác IBC là tam giác cân tại I.
Suy ra, IM là đường trung tuyến của tam giác IBC, nên CM = BM.

Kết luận:

a) I, A, K thẳng hàng.
b) CM = BM.

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: Kẻ KE$\perp$AB tại E, KF$\perp$AC tại F

Xét ΔBEK vuông tại E và ΔBNK vuông tại N có

BK chung

$\widehat{EBK}=\widehat{NBK}$

Do đó: ΔBEK=ΔBNK

=>KE=KN(1)

Xét ΔCNK vuông tại N và ΔCFK vuông tại F có

CK chung

$\widehat{NCK}=\widehat{FCK}$

Do đó: ΔCNK=ΔCFK

=>KN=KF(2)

Từ (1),(2) suy ra KE=KF

Xét ΔAEK vuông tại E và ΔAFK vuông tại F có

AK chung

EK=FK

Do đó: ΔAEK=ΔAFK

=>$\widehat{EAK}=\widehat{FAK}$

=>AK là phân giác của góc BAC

mà AI là phân giác của góc BAC
và AK,AI có điểm chung là A

nên A,K,I thẳng hàng