\(x^2-y^2+2x-4y-10=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1-\left(y^2+y+9\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2-5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+1\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1+y+2\right)\left(x+1+y-2\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1+2\right)\left(x-y-2-1\right)=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-1\right)=5\)

Ta có bảng GT:

Vậy (x,y)= (2;4) (2;0) (4;0);(-4;4)

x,y nguyên dương là:

=> Nghiệm của nguyên dương PT là: (x,y)=(2,0)

Bước 1: Xét các trường hợp nhỏ

Phương trình:

\(2^{x} - 3^{y} = 1 \Rightarrow 2^{x} = 3^{y} + 1\)

Cả hai số \(2^{x}\) và \(3^{y} + 1\) đều là số nguyên dương, vậy \(x \geq 1\), \(y \geq 0\).

Bước 2: Thử với các số nguyên nhỏ

1. y = 0:

\(2^{x} = 3^{0} + 1 = 1 + 1 = 2 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 1\)

✅ Giải được: \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 \left.\right)\)

1. y = 1:

\(2^{x} = 3^{1} + 1 = 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 2\)

✅ Giải được: \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 2 , 1 \left.\right)\)

1. y = 2:

\(2^{x} = 3^{2} + 1 = 9 + 1 = 10 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \left(log ⁡\right)_{2} 10 \notin \mathbb{Z}\)

❌ Không có nghiệm nguyên

1. y = 3:

\(2^{x} = 3^{3} + 1 = 27 + 1 = 28 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \left(log ⁡\right)_{2} 28 \notin \mathbb{Z}\)

❌ Không có nghiệm nguyên

1. y = 4:

\(2^{x} = 3^{4} + 1 = 81 + 1 = 82 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \left(log ⁡\right)_{2} 82 \notin \mathbb{Z}\)

❌ Không có nghiệm nguyên

Bước 3: Kiểm tra tính khả thi tổng quát

• Khi \(y \geq 3\), \(3^{y} \equiv 0 \left(\right. m o d 9 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3^{y} + 1 \equiv 1 \left(\right. m o d 9 \left.\right)\)
• Các lũy thừa của 2: \(2^{x} m o d \textrm{ } \textrm{ } 9\) lặp theo chu kỳ: 2, 4, 8, 7, 5, 1,…
• Xét \(2^{x} \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\) hay \(2^{x} - 1 = 3^{y}\), theo định lý Catalan, nghiệm duy nhất cho phương trình lũy thừa cách nhau 1 là \(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 3 , 2 \left.\right)\) cho phương trình \(3^{2} - 2^{3} = 1\), nhưng ở đây thứ tự khác nên chỉ có các nghiệm nhỏ đã tìm.

Do đó, không có nghiệm lớn hơn.

✅ Kết luận

Các nghiệm nguyên của phương trình \(2^{x} - 3^{y} = 1\) là:

\(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 1 , 0 \left.\right) \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; \left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 2 , 1 \left.\right)}\)

tớ không biết

cj lậy chú

nhây vừa thoi

a) \(x^3-2x^2-5x+6=0\)

\(x^3-x^2-x^2+x-6x+6=0\)

\(x^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)=0\)

\(\left(x-1\right)\left(x^2-x-6\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^2-x-6=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x^2-2x+3x-6=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\\left(x+3\right)\left(x-2\right)=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\left\{2;-3\right\}\end{cases}}\)

\(a,x^3-2x^2-5x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-x^2\right)-\left(x^2-x\right)-\left(6x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(x^2-3x\right)+\left(2x-6\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\left(h\right)x+2=0\left(h\right)x-3=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\left(h\right)x=-2\left(h\right)x=3\)

Vậy \(x\in\left\{-2;1;3\right\}\)

P/S: (h) là hoặc nhé

tôi ko biết

phân tích đa thức thành nhân tử

\(x^2-y^2+2x-4y-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4y+4\right)=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=13\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-1\right)=13\)

Tới đây thì đơn giản rồi nhé

pt <=> \(\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4y+4\right)=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x-y-1\right)=7\)

Mặt khác x,y>0 => x+y+3>x-y-1 và x+y+3>0

Nên ta có cặp nghiệm duy nhất sau: \(\hept{\begin{cases}x+y+3=7\\x-y-1=1\end{cases}\Leftrightarrow}\)\(\hept{\begin{cases}x+y=4\\x-y=2\end{cases}\Leftrightarrow}\)\(\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}\)

=>xy(1-1+2-4)=10

=>xy(-2)=10

=>xy=-5

tự tìm

=> xy( 1-1+2-1) = 10

=> xy(-2) = 10

=> xy = -5

Còn nữa

\(x^2+3xy+y^2=x^2y^2^{^{\left(1\right)}}\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=x^2y^2-xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy-1\right)\)

Vì xy(xy-1) là 2 số nguyên liên tiếp có tích là 1 số chính phương 

=> xy=0 hoặc xy-1 =0 

+) Nếu xy=0 thay vào (1) ta có 

\(x^2+y^2=0\Leftrightarrow x=y=0\)

+)Nếu xy-1 =0 hay xy=1 ta có 

\(x^2+y^2+3=1\Leftrightarrow x^2+y^2=-2\left(loại\right)\)

Vậy x=0 ; y=0

Đoạn số chính phương rồi suy ra xy mình chưa hiểu lắm,bạn gthich tí dc 0

Ta có:

\(x^2-y^2+2x-4y-10=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+4y+4\right)-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+2\right)^2=7\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(x+y+3\right)=7\)

Vì \(x,y\) nguyên dương 

Nên \(x+y+3>x-y-1>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y+3=7\\x-y-1=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=1\end{cases}}}\)

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương duy nhất \(\left(x,y\right)=\left(3;1\right)\)