Cho (O) và dây BC cố định,không đi qua tâm.Điểm A thay đổi trên cung lớn BC(A khác B,C), điểm I là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên các đường thẳng AB, AC. Chứng minh:

a) Bốn điểm A, H, I, K cùng thuộc một đường tròn.

b) ΔIHK là Δ cân và Góc HIK = Góc BIC.

c) Khi A thay đổi trên cung lớn BC thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Cho đường tròn tâm O,đường AB cố định.H là điểm cố định thuộc đoạn OA (H ko trùng O và A).Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn O tại C và D.Gọi K là điểm tùy ý thuộc cung lớn CD(K ko trùng các điểm C,D và B).I là giao điểm của AK và CD

Chứng Minh : khi K thay đổi trên cung lớn CD của đường tròn tâm O thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KCI luôn thuộc 1 đường thẳng cố định

Từ một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$ bán kính $R$, kẻ các tiếp tuyến $AB$, $AC$ với đường tròn ($B$, $C$ là tiếp điểm). Trên cung nhỏ $BC$ lấy một điểm $M$ bất kỳ khác $B$ và $C$. Gọi $I$, $K$, $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên các đường thẳng $AB$, $AC$, $BC$.

1. Chứng minh rằng $AIMK$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh $\widehat{MPK} = \widehat{MBC}$.

3. Xác định vị trí điểm $M$ trên cung nhỏ $BC$ để tích $MI .MK .MP$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho đương tròn(O, R), dây AB cố định không đi qua tâm. C là điểm nằm trên cung nhỏ AB sao cho cung AC không lớn hơn cung BC. Kẻ dây CD vuông góc với AB tại H. Gọi điểm K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng DA.

a) Chứng minh: Bốn điểm A, H, C, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh: CD là tia phân giác của góc BCK

c) KH cắt BD tại E. Chứng minh: CE vuông góc BD

d) Khi điểm C di chuyển trên cung nhỏ AB. Xác định vị trí của điểm C để CK. AB + CE. DB có giá trị lớn nhất?

Cho tam giác ABC có A tù, đường thẳng d thay đổi nhưng  luôn qua A và cắt đường tròn (O) đường kính AB, đường tròn (O') đường kính AC lần lượt tại M và N sao cho A nằm giữa M và N

a) Chứng minh BCNM là hình thang vuông

b) Cho H thuộc BC. Chứng minh tỉ số \(x = {HM\over HN}\)

c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC. Chứng minh bốn điểm A, H, K, I cùng thuộc một đường tròn và điểm I di chuyển trên một cung tròn cố định.

d) Xác ddihj vị trí của đường thẳng d để diện tích tam giác HMN lớn nhất.

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn ( AB<AC) nội  tiếp đường tròn (O). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AD của đường tròn(O)

a) CM tứ giác ABHM,AHNC nội tiếp

b) CM tam giác HMN đồng dạng tam giác ABC

c) Chứng minh HM vuông góc với AC

d) Gọi I là tủng điểm của BC. CM I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN

Bài 2:Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R, Cl à trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN

a) CM tứ giác BCHK nội tiếp

b) Chứng minh tam giác MBN đều

c) Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ MB sao cho KM+KN+KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R 

Cho đường tròn tâm O,đường AB cố định.H là điểm cố định thuộc đoạn OA (H ko trùng O và A).Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn O tại C và D.Gọi K là điểm tùy ý thuộc cung lớn CD(K ko trùng các điểm C,D và B).I là giao điểm của AK và CD

Chứng Minh : khi K thay đổi trên cung lớn CD của đường tròn tâm O thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KCI luôn thuộc 1 đường thẳng cố định

MONG ANH CHỊ GIÚP ĐỠ (EM ĐANG CẦN GẤP)

Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định (BC không qua O). Gọi A là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Điểm E thuộc cung lớn BC. Nối AE cắt BC tại D. Hạ CH vuông góc AE tại H, CH cắt BE tại M. Gọi I là trung điểm của BC.

1. Chứng minh bốn điểm A, I, H, C thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh khi E chuyển động trên cung lớn BC thì tích AD.AE không đổi.

3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BED tiếp xúc với AB.

Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định thuộc đường tròn. Trên tiếp tuyến với (O) tại A lấy một điểm K cố định. Một đường thẳng d thay đổi đi qua K và không đi qua tâm O cắt (O) tại điểm B và C (B nằm giữa C và K), Gọi M là trung điểm của BC.

1) Chứng minh bốn điểm A, O, M, K cùng thuộc một đường tròn.

2) Vẽ đường kính AN của  đường tròn (O). Đường thẳng qua A và vuông góc với BC cắt MN tại H. Chứng minh tứ giác BHCN là hình bình hành.

3) Chứng minh H là trực tâm tam giác ABC

4) Khi đường thẳng d thay đổi và thỏa mãn điều kiện của đề bài, điểm H di động trên đường nào?