a) Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có: AD //BC và AB = BC = CD = a, đồng thời AC ⊥ CD, AB ⊥ BD, AC = BD = a√3.

Như vậy 

Trong mặt phẳng (SAC) dựng AH ⊥ SC tại H ta có AH ⊥ CD và AH ⊥ SC nên AH ⊥ (SCD)

Vậy AH = d(A,(SCD))

Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao, ta có:

Vậy A H 2   =   2 a 2   ⇒   A H   =   a 2

Gọi I là trung điểm của AD ta có BI // CD nên BI song song với mặt phẳng (SCD). Từ đó suy ra d(B, (SCD)) = d(I,(SCD)).

Mặt khác AI cắt (SCD) tại D nên

Do đó: 

b) Vì AD // BC nên AD // (SBC), do đó d(AD, (SBC)) = d(A,(SBC))

Dựng AD ⊥ BC tại E ⇒ BC ⊥ (SAE)

Dựng AD ⊥ SE tại F ta có:

Vậy AF = d(A,(SBC)) = d(AD, (SBC))

Xét tam giác vuông AEB ta có:

Xét tam giác SAE vuông tại A ta có:

Đặt hệ trục tọa độ:

$A(0,0,0),\ D(2a,0,0)$ và đường chéo $AD$ nằm trên trục $x$.

Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD=2a$, ta có:

$B(a, a\sqrt{3},0),\ C(2a, a\sqrt{3},0)$ (theo hình học hạ chiều cao từ tam giác đều).

Đỉnh $S$ vuông góc với đáy tại $SA$, $SA \perp (ABCD)$ và $SA = a\sqrt{6}$, nên:

$S = (0,0,a\sqrt{6})$.

a) Khoảng cách từ $A$ và $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$:

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{SC} = C-S = (2a, a\sqrt{3}, -a\sqrt{6})$

$\vec{SD} = D-S = (2a,0,-a\sqrt{6})$

$\vec{n} = \vec{SC} \times \vec{SD} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\2a & a\sqrt{3} & -a\sqrt{6} \\2a & 0 & -a\sqrt{6}\end{vmatrix} =(-a^2 3\sqrt{3})\mathbf{i} + (0)\mathbf{j} + (-2a^2 \sqrt{18})\mathbf{k} = (-3a^2\sqrt{3},0,-6a^2)$

Phương trình mặt phẳng $(SCD)$:

$\vec{n} \cdot \overrightarrow{SP} = 0 \Rightarrow -3a^2\sqrt{3}(x-0) + 0 + (-6a^2)(z - a\sqrt{6}) = 0$

$\Rightarrow 3\sqrt{3}x + 6(z - a\sqrt{6}) = 0 \Rightarrow z + \dfrac{\sqrt{3}}{2}x - a\sqrt{6} = 0$

Khoảng cách từ $A(0,0,0)$ đến mặt phẳng $(SCD)$:

$d_A = \dfrac{|0 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 0 - a\sqrt{6}|}{\sqrt{(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0 + 1^2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{\sqrt{\dfrac{3}{4} + 1}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{\sqrt{\dfrac{7}{4}}} = \dfrac{2a\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

Khoảng cách từ $B(a,a\sqrt{3},0)$ đến mặt phẳng $(SCD)$:

$d_B = \dfrac{|0 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}a - a\sqrt{6}|}{\sqrt{\dfrac{7}{4}}} = \dfrac{| \dfrac{a\sqrt{3}}{2} - a\sqrt{6}|}{\sqrt{7/4}} = \dfrac{|a(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{6})|}{\sqrt{7}/2} = \dfrac{2a|\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{6}|}{\sqrt{7}}$

b) Khoảng cách từ đường thẳng $AD$ đến mặt phẳng $(SBC)$:

Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SBC)$:

$\vec{SB} = B-S = (a,a\sqrt{3}, -a\sqrt{6})$

$\vec{SC} = C-S = (2a, a\sqrt{3}, -a\sqrt{6})$

$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{SC} =\begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\a & a\sqrt{3} & -a\sqrt{6} \\2a & a\sqrt{3} & -a\sqrt{6}\end{vmatrix} = (0, -a^2\sqrt{6}, -a^2\sqrt{3})$

Phương trình mặt phẳng $(SBC)$:

$0\cdot (x-0) - a^2\sqrt{6}(y-0) - a^2\sqrt{3}(z - a\sqrt{6}) = 0 \Rightarrow \sqrt{6} y + \sqrt{3}(z - a\sqrt{6}) = 0 \Rightarrow z + \sqrt{2} y - a\sqrt{6} = 0$

Khoảng cách từ đường thẳng $AD$: Chọn điểm $A$ và vector $\vec{AD} = (2a,0,0)$

Khoảng cách $d = \dfrac{| \vec{AD} \times \overrightarrow{AP} \cdot \vec{n} |}{|\vec{n} \times \vec{AD}|}$

$\overrightarrow{AP} = S-A = (0,0,a\sqrt{6})$

$\vec{n} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\0 & -\sqrt{6} & -\sqrt{3} \\2 & 0 & 0\end{vmatrix} = (0, -2\sqrt{3}, 2\sqrt{6}) \Rightarrow |\vec{n} \times \vec{AD}| = 2\sqrt{3 + 6} = 2\sqrt{9} = 6$

$(\overrightarrow{AP} \cdot (\vec{n} \times \vec{AD})) = (0,0,a\sqrt{6}) \cdot (0,-2\sqrt{3},2\sqrt{6}) = 2a\sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 12a$

Vậy khoảng cách: $d = \dfrac{12a}{6} = 2a$

ĐÁP ÁN: C

Gọi K là trung điểm của SA
=>KM//SC

=>SC//(KMB)

d(SC;BM)=d(S;(KBM))=SK/SA*d(A;(KBM))=d(A;(KBM))

=>ΔABC đều

=>BM vuông góc AC

=>BM vuông góc (SAC)

Kẻ AQ vuông góc KM

=>AQ vuông góc (KMB)

=>d(A;(KMB))=AQ

\(SC=\sqrt{9a^2+4a^2}=a\sqrt{13}\)

KM=1/2SC=a*căn 3/2

=>\(AQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)

=>d(BM;SC)=3*căn 13/13

a) Trong (SAC) kẻ \(AH \bot SC \Rightarrow d\left( {A,SC} \right) = AH\)

Xét tam giác ABC vuông tại B có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Xét ta giác SAC vuông tại A có

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = a\)

\( \Rightarrow d\left( {A,SC} \right) = a\)

b) Ta có \(BD \bot AC,BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right) \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)

c) Trong (SAC) kẻ \(OK \bot SC\)

\(\begin{array}{l}OK \bot BD\left( {BD \bot \left( {SAC} \right)} \right)\\ \Rightarrow d\left( {SC,BD} \right) = OK\end{array}\)

Xét tam giác AHC vuông tại H có

O là trung điểm AC

OK // AH (cùng vuông góc SC)

\( \Rightarrow \) OK là đường trung bình \( \Rightarrow \) \(OK = \frac{1}{2}AH = \frac{a}{2}\)\( \Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = \frac{a}{2}\)

Đáp án D

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ