Đặt x=B'C(km), 0<=x<=9

=>\(BC=\sqrt{x^2+36};AC=9-x\)

Chi phí xây dựng dường ống là:

\(C\left(x\right)=130000\sqrt{x^2+36}+50000\left(9-x\right)\left(USD\right)\)

Hàm C(x) xác định và liên tục trên [0;9] và \(C'\left(x\right)=10000\left(\dfrac{13x}{\sqrt{x^2+36}}-5\right)\)

C'(x)=0

=>13x=5 căn x^2+36

=>x=5/2

Gọi BM=x km (0<x<7)

=> MC=7-x (km)

Ta có: \(AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}} \)\( = \sqrt {16 + {x^2}} \left( {km} \right)\)

Thời gian từ A đến M là: \(\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}\left( h \right)\)

Thời gian từ M đến C là: \(\frac{{7 - x}}{5}\left( h \right)\)

Tổng thời gian từ A đến C là 148 phút nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{148}}{{60}}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7 - x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow \frac{{5\sqrt {16 + {x^2}} }}{{15}} + \frac{{3.\left( {7 - x} \right)}}{{15}} = \frac{{37}}{{15}}\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}}  + 3.\left( {7 - x} \right) = 37\\ \Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}}  = 16 + 3x\\ \Leftrightarrow 25.\left( {16 + {x^2}} \right) = 9{x^2} + 96x + 256\\ \Leftrightarrow 16{x^2} - 96x + 144 = 0\\ \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến M là 3 km.

Giải tam giác là việc đi tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Trong trường hợp này, giải tam giác ABC được hiểu là tìm cạnh AC khi biết cạnh AB, góc A và góc B.

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{AB}}{{\sin C}}\)

Mà \(AB=d, \hat {B} =\beta; \hat {C} =180^o-\alpha -\beta \)

\(\Rightarrow AC = \sin \beta \frac{d}{{\sin \left( {{{180}^o} - \alpha  - \beta } \right)}}\)

Đổi 300 m =0,3 km, 800 m = 0,8 km

7,2 phút =0,12(h)

Gọi khoảng cách từ C đến D là x (km) (0,8>x>0)

Khi đó, DB=0,8-x (km)

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(AD = \sqrt {A{C^2} + C{D^2}} \)\( = \sqrt {0,{3^2} + x^2} \) (km)

Thời gian đi từ A đến D là: \(\frac{{\sqrt {0,{3^2} + x^2} }}{6}\left( h \right)\)

Thời gian đi từ D đến B là: \(\frac{{0,8 - x}}{{10}}\left( h \right)\)

Tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B là 7,2 phút nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} }}{6} + \frac{{0,8 - x}}{{10}} = 0,12}\\
{ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} + 3.\left( {0,8 - x} \right) = 0,12.30}\\
{ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} - 3x - 1,2 = 0}\\
{ \Leftrightarrow 5.\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} = 3x + 1,2}\\
{ \Rightarrow 25.\left( {0,{3^2} + {x^2}} \right) = {{\left( {3x + 1,2} \right)}^2}}\\
{ \Leftrightarrow 25.\left( {{x^2} + 0,09} \right) = 9{x^2} + 7,2x + 1,44}\\
{ \Leftrightarrow 16{x^2} - 7,2x + 0,81 = 0}\\
{ \Leftrightarrow x = 0,225 \, \, \, (TM)}
\end{array}\)

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 225m.

Xét ΔABC có \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^0\)

=>\(\widehat{ABC}+59^0+82^0=180^0\)

=>\(\widehat{ABC}=39^0\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AC}{sinB}=\dfrac{AB}{sinC}\)

=>\(\dfrac{25}{sin39}=\dfrac{AB}{sin82}\)

=>\(AB=25\cdot\dfrac{sin82}{sin39}\simeq39,34\left(m\right)\)

Gọi C là vị trí ngọn hải đăng và H là hình chiếu của C trên AB.

Khi đó CH là khoảng cách từ ngọn hải đăng tới bờ biển.

Ta có: \( \widehat {ACB} = \widehat {HBC} - \widehat {BAC} = {75^o} - {45^o} = {30^o}; \,  \widehat {ABC} = {180^o} - {75^o} = {105^o}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\)

\( \Rightarrow AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}} = \sin {105^o}.\frac{{30}}{{\sin {{30}^o}}} \approx 58\)

Tam giác ACH vuông tại H nên ta có:

\(CH = \sin A.AC = \sin {45^o}.58 \approx 41\)

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển 41 m.

Công ty A: \({y_A} = 3750 + 5.x\)(nghìn đồng)

Công ty B: \({y_B} = 2500 + 7,5.x\)(nghìn đồng)

Với \(550 \le x \le 600\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{y_A} - {y_B}=\left( {3750 + 5.x} \right) - \left( {2500 + 7,5x} \right)\\ = 1250 - 2,5x\end{array}\)

Mà \(550 \le x \le 600\)\( \Leftrightarrow 2,5.550 \le 2,5x \le 2,5.600\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1250 - 1370 \ge 1250 - 2,5x \ge  - 250\\ \Leftrightarrow  - 250 \le 1250 - 2,5x \le  - 120\\ \Rightarrow {y_A} - {y_B} < 0\end{array}\)

Vậy chi phí thuê xe công ty A thấp hơn.

Gọi d là đường thẳng nằm trong đất liền, song song với bờ biển và cách bờ biển một khoảng  bằng bán kính OA.

Ta có: \(d\left( {M,d} \right) = MH + R = MA + AO = MO\)

Vậy tập hợp điểm M thuộc (P) có tiêu điểm là O. Đường chuẩn là d. Do đó đường ranh giới cần tìm là đường parabol (P).