Mik ko biết 

em  tự vẽ hình nha

Gọi O là trung điểm của AM

Vì tam giác AHM vuông tại H có O là trung điểm cạnh huyền AM

=> OH=OA=OM  (1) 

CMTT: OA=OM=OE  (2)

Vì \(\hept{\begin{cases}MD\perp AB\\ME\perp AC\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\widehat{MDA}=90^0\\\widehat{MEA}=90^0\end{cases}}\)

Xét tứ giác ADME có:

góc A= góc MDA = góc MEA = 90 độ

=> ADME là hình chữ nhật ( dhnb )

=> 2 đường chéo DE và AM cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và DE=AM

Mà O là trung điểm AM

=> O là trung điểm DE

=> OD=OE (3)

Từ (1), (2) và (3) => OD=OE=OA=OM=OH

=> A,D,H,M,F cùng nằm trên 1 đường tròn

Ta có:AH\(\perp\)BC

=>\(AH\perp\)HM

=>\(\widehat{AHM}=90^0\)

Ta có: \(\widehat{AEM}=\widehat{ADM}=\widehat{AHM}=90^0\)

=>A,E,M,H,D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

a. Em tự giải

b. Do tam giác ABC đều và AH là đường cao \(\Rightarrow AH\) đồng thời là phân giác góc A

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}=\dfrac{1}{2}.60^0=30^0\)

AEMHF nội tiếp đường tròn tâm O \(\Rightarrow\widehat{HOF}=2.\widehat{CAH}=60^0\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung HF)

Mà \(OH=OF\) (cùng là bán kính) \(\Rightarrow\Delta OHF\) đều (tam giác cân có 1 góc 60 độ)

Tương tự ta có  \(\widehat{HOE}=60^0\Rightarrow\Delta OHE\) đều

\(\Rightarrow OE=OF=HE=HF\Rightarrow OEHF\) là hình thoi

c.

Gọi D là trung điểm AH \(\Rightarrow OD\perp AH\) \(\Rightarrow OH\ge DH\Rightarrow OH\ge\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow OH\ge\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Gọi I là giao điểm EF và OH \(\Rightarrow I\) là tâm hình thoi OEHF

\(S_{OEHF}=2S_{OHE}=2EI.OH=2\sqrt{OE^2-OI^2}.OH\)

\(=2OH.\sqrt{OH^2-\left(\dfrac{OH}{2}\right)^2}=OH^2\sqrt{3}\ge\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2.\sqrt{3}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(OH=DH\Leftrightarrow O\) trùng D

\(\Rightarrow M\) trùng H

1)Xét tứ giác EMAF có 3 goc vg => AEMF la hcn => các điểm A,E,F,H cùng nằm trên một đường tròn 

2)

dùng tứ giác nội tiếp là ra bạn à

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)

nên ADHE là hình chữ nhật

b: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{EDH}=\hat{EAH}\)

mà \(\hat{EAH}=\hat{B}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)

nên \(\hat{EDH}=\hat{B}\)

Ta có: ADHE là hình chữ nhật

=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}\)

mà \(\hat{DAH}=\hat{C}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{DEH}=\hat{C}\)

Ta có: \(\hat{EDH}+\hat{MDH}=\hat{MDE}\)

=>\(\hat{MDH}+\hat{B}=90^0\)

mà \(\hat{B}+\hat{MHD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)

nên \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\)

=>MD=MH

Ta có: \(\hat{MDH}+\hat{MDB}=\hat{HDB}=90^0\)

\(\hat{MHD}+\hat{MBD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)

mà \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\) (ΔMDH cân tại M)

nên \(\hat{MDB}=\hat{MBD}\)

=>MD=MB

mà MD=MH

nên MB=MH

=>M là trung điểm của BH

Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)

\(\hat{NEH}+\hat{DEH}=\hat{NED}=90^0\)

Do đó: \(\hat{NEC}=\hat{DEH}\)

mà \(\hat{DEH}=\hat{DAH}=\hat{HAB}\) (ADHE là hình chữ nhật)

và \(\hat{HAB}=\hat{NCE}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)

nên \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)

=>NE=NC

Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)

\(\hat{NCE}+\hat{NHE}=90^0\) (ΔCEH vuông tại E)

mà \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)

nên \(\hat{NEH}=\hat{NHE}\)

=>ΔNEH cân tại N

=>NE=NH

mà NE=NC

nên NH=NC

=>N là trung điểm của HC

c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)

=>AH=6(cm)

Diện tích hình thang DMNE là:

\(S_{DMNE}=\frac12\cdot\left(DM+NE\right)\cdot DE=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12BH+\frac12CH\right)\)

\(=\frac14\cdot AH\cdot\left(BH+CH\right)=\frac14\cdot6\cdot\left(4+9\right)=\frac32\cdot13=\frac{39}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)