a) Tứ giác $DKMN$ có �^=�^=�^=90∘D=K=N=90∘ nên là hình chữ nhật.

b) Vì $DKMN$ là hình chữ nhật nên $DF$ // $MH$

Xét $\Delta KFM$ và $\Delta NME$ có:

     �^=�^=90∘K=N=90∘

     $FM=ME$ ( giả thiết)

     ���^=�^KMF=E (đồng vị)

Vậy $\Delta KFM=\Delta NME$ (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra $KF=MN$ (hai cạnh tương ứng) mà $MN=DK$ nên $DF=2DK$ và $MH=2MN$.

Do đó $DF=MH$.

Tứ giác $DFMH$ có $DF$ // $MH,DF=MH$ nên là hìn...

a) Tứ giác DKMN có 3 góc D=K=N= 90 độ

=> Tg DKMN là hình chữ nhật

Vậy tg DKMN là hình chữ nhật

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH 

Xét 2 tam giác KFM và NME có:

góc K= góc N = 90 độ

FM=ME(gt)

góc KMF = góc E( đồng vị)

=> Tam giác KFM = tam giác NME (cạnh huyền-góc nhọn)

=>KF=MN( hai cạnh tương ứng) mà MN=DK nên DF=2DK và MH=2MN

Do đó DF=MH

Tứ gáic DFMH có DF//MH, DF=MH nên là hình bình hành

Do đó hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng

Vậy 3 điểm F,O,H thẳng hàng

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN(1)

Mà DK=1/2DF và DN=KM=NE nên DN=1/2DE(2)

Từ (1),(2) suy ra DF=DE

Vậy tam giác DFE cần thêm điều kiện cân tại D

Vậy��=

a)Xét tứ giác AMDN có: góc AMD=90⁰

góc MAN=90⁰

góc DNA=90⁰

=> Tứ giác AMDN là hình chữ nhật(dhnb hcn)

b)Xét tam giác ABC vuông tại A có:D là trung điểm của BC

=>AD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

=>AD=BD=CD=BC/2

=> tg ACD cân tại D

Xét tg ACD cân tại D có: DN là đường cao

=>DN là đường trung tuyến của tam giác ADC

=>N là trung điểm của AC

a: ΔDEF vuông tại D

=>\(DE^2+DF^2+EF^2\)

=>\(EF^2=9^2+12^2=225\)

=>\(EF=\sqrt{225}=15\left(cm\right)\)

Ta có; ΔDEF vuông tại D

mà DM là đường trung tuyến

nên \(DM=\dfrac{EF}{2}=7,5\left(cm\right)\)

b: Xét tứ giác DNMK có

\(\widehat{DNM}=\widehat{DKM}=\widehat{KDN}=90^0\)

=>DNMK là hình chữ nhật

c: Xét ΔDEF có MN//DF

nên \(\dfrac{MN}{DF}=\dfrac{EM}{EF}\)

=>\(\dfrac{MN}{DF}=\dfrac{1}{2}\)

mà \(MN=\dfrac{1}{2}MH\)

nên MH=DF

Ta có: MN//DF

N\(\in\)MH

Do đó: MH//DF

Xét tứ giác DHMF có

MH//DF

MH=DF

Do đó: DHMF là hình bình hành

=>DM cắt HF tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của DM

nên O là trung điểm của HF

=>H,O,F thẳng hàng

a ) Xét ◇DENF có :

Góc N = Góc F = Ê = 90°

\(\Rightarrow\)◇DENF là hình chữ nhật

b ) Trong \(\Delta\)MNP có : ND là đường trung tuyến 

\(\Rightarrow\)ND = DP ( vì đường trung tuyến bằng nữa cạnh huyền )

Xét \(\Delta\)NDF và \(\Delta\)PDF có :

• ND = DP ( cmt )
• Góc NFD = Góc PFD ( = 90° )
• DF : cạnh chung

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)NDF = \(\Delta\)PDF ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow\)NF = PF ( 2 cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\)F là trung điểm NP

a) Xét tứ giác NEDF có +)  \(\widehat{ENF}=90^0\)(tam giác MNP vuông tại N)

+) \(\widehat{DFN}=90^0\)(DF vuông góc NP)

+)  \(\widehat{DEN}=90^0\)(DE vuông góc MN)

\(\Rightarrow\)tứ giác NEDF là hình chữ nhật

b) Xét \(\Delta DFN\)và \(\Delta DFP\)có:

   DF : cạnh chung

   DN = DP ( Do ND là trung tuyến của tam giác vuông MNP)

Do đó \(\Delta DFN\)\(=\Delta DFP\left(ch-cgv\right)\)

\(\Rightarrow NF=PF\)

Suy ra F là trung điểm của NP (đpcm)

Bài 1: 

a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của AC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//BC

hay BMNC là hình thang

b: Xét ΔABK có MI//BK

nên MI/BK=AM/AB=1/2(1)

XétΔACK có NI//CK

nên NI/CK=AN/AC=1/2(2)

Từ (1)và (2) suy ra MI/BK=NI/CK

mà MI=NI

nên BK=CK

hay K là trug điểm của BC

Xét ΔABC có 

K là trung điểm của BC

M là trung điểm của AB

Do đó: KM là đường trung bình

=>KM//AN và KM=AN

hay AMKN là hình bình hành

a) ta có góc DMA=MAN=DAN=90⁰

=> tứ giác AMDN là hình chữ nhật

b) ta có DB=DC VÀ DN // MA ( do MDNA là hình chữ nhật )

=> DN là đường trung bình của tam giác ABC

--> AN=NC hay N là trung điểm của AC

c) ta có tứ giác ADCE có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Hình bình hành ADCE có 2 đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi

d)

a)Xét tứ giác AMDN ,có:

góc MAN=90(ΔABC vuông tại A)

góc AMD=90(DM⊥AB)

góc AND=90(DN⊥AC)

⇒Tứ giác AMDN là hình vuông

b)Xét △ABC vuông tại A,có:

AD là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền BC

⇒AD=1/2 BC hay AD=DC

Xét △ADC có:

AD=DC(cmt)

⇒△ADC là tam giác cân tại D

Xét △ADC cân tại D,có:

AN là đường cao (DN⊥AC)

⇒N là trung điểm AC

c)Xét tứ giác ADCE,có:

N là trung điểm DE

N là trung điểm AC

mà DE và AC là 2 đg chéo cắt nhau tại N

⇒tứ giác ADCE là hình bình hành

Xét hbh ADCE ,có:

ND⊥AC

⇒hbh ADCE là hình thoi

Xét hình chữ nhật AMDN ,có:

DN=AN hay DN=AN=NE=NC hay DE=AC

Xét hình thoi ADCE có :

DE=AC

mà DE và AC là 2 đg chéo

⇒ADCE là hình vuông

d)Giả sử tứ giác ABCE là hình thang cân

⇔góc B=góc C

⇔△ABC là tam giác vuông cân tại A

Vậy để tứ giác ABCE là hình thang cân thì △ABC là tam giác vông cân tại A

a)Xét tứ giác AMDN ,có:

góc MAN=90(ΔABC vuông tại A)

góc AMD=90(DM⊥AB)

góc AND=90(DN⊥AC)

⇒Tứ giác AMDN là hình vuông

b)Xét △ABC vuông tại A,có:

AD là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền BC

⇒AD=1/2 BC hay AD=DC

Xét △ADC có:

AD=DC(cmt)

⇒△ADC là tam giác cân tại D

Xét △ADC cân tại D,có:

AN là đường cao (DN⊥AC)

⇒N là trung điểm AC

c)Xét tứ giác ADCE,có:

N là trung điểm DE

N là trung điểm AC

mà DE và AC là 2 đg chéo cắt nhau tại N

⇒tứ giác ADCE là hình bình hành

Xét hbh ADCE ,có:

ND⊥AC

⇒hbh ADCE là hình thoi

Xét hình chữ nhật AMDN ,có:

DN=AN hay DN=AN=NE=NC hay DE=AC

Xét hình thoi ADCE có :

DE=AC

mà DE và AC là 2 đg chéo

⇒ADCE là hình vuông

d)Giả sử tứ giác ABCE là hình thang cân

⇔góc B=góc C

⇔△ABC là tam giác vuông cân tại A

Vậy để tứ giác ABCE là hình thang cân thì △ABC là tam giác vông cân tại A