Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Ta có thể chứng minh ΔAOP = ΔBOR bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc AOP và góc BOR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc OPA = góc ORB (do OP và OR là hai cạnh của hình vuông OPRQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có ΔAOP = ΔBOR.
b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD, nên ta có OP = OR = OS = OQ.
c) Ta cũng có thể chứng minh PRSQ là hình vuông bằng cách sử dụng góc vuông và góc đồng quy. Vì hai đường thẳng m và n vuông góc với nhau tại O, nên góc PQR và góc PSR là góc vuông. Đồng thời, ta cũng có góc QPR = góc RPS (do PQ và RS là hai cạnh của hình vuông PRSQ). Vì vậy, theo góc đồng quy, ta có PRSQ là hình vuông.
Vậy, ΔAOP = ΔBOR, OP = OR = OS = OQ và PRSQ là hình vuông.
a) Do ABCD là hình vuôn nên:
\(AB=BC=CD=AD\)
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AM+MB\\BC=BN+NC\\CD=CP+PD\\AD=DQ+QA\end{matrix}\right.\)
Lại có: \(AM=BN=CP=DQ\)
\(\Rightarrow MB=NC=PD=QA\left(dpcm\right)\)
b) Xét \(\Delta QAM\) và \(\Delta NCP\) có:
\(\widehat{A}=\widehat{C}=90^o\left(gt\right)\)
\(AM=CP\left(gt\right)\)
\(QA=NC\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta QAM=\Delta NCP\left(c.g.c\right)\)
c) Xét các tam giác: \(\Delta QAM,\Delta NCP,\Delta PDQ,\Delta MBN\) ta có:
\(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=90^o\left(gt\right)\)
\(AM=BN=CP=DQ\left(gt\right)\)
\(MB=NC=PD=QA\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta QAM=\Delta NCP=\Delta PDQ=\Delta MBN\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow MQ=QP=PN=NM\) (các cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow MNPQ\) là hình thoi (1)
Xét tam giác QAM ta có:
\(\widehat{QMA}+\widehat{AQM}=180^o-90^o=90^o\)
Mà: \(\Delta QAM=\Delta MBN\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BMN}=\widehat{AQM}\) (hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat{BMN}+\widehat{QMA}=90^o\)
Lại có: \(\widehat{BMN}+\widehat{QMA}+\widehat{NMQ}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{NMQ}=180^o-90^o=90^o\) (2)
Từ (1) và (2) ta có MNPQ là hình vuông
a) ����ABCD là hình vuông nên ��=��=��=��AB=BC=CD=DA
Mà ��=��=��=��AM=BN=CP=DQ.
Trừ theo vế ta được ��−��=��−��=��−��=��−��AB−AM=BC−BN=CD−CP=DA−DQ
Suy ra ��=��=��=��MB=NC=PD=QA
Xét tam giác QAM và tam giác NPC có:
góc A = góc C = 90 độ
AQ=NC(cmt)
AM=CP(gt)
=>Tam giác QAM= tam giác NPC(c.g.c)
c)=> NP = MQ ( hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự như phần b ta có: Tam giác QAM= tam giác PDQ và tam giác QAM= tam giác MBN
Khi đó: MQ=PQ, MN=MQ và góc AMQ= góc DQP
Mà góc AMQ+AQM=90 độ
=>góc DQP+ góc AQM= 90 độ
Do đó góc MQP = 90 độ
tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi
Lại có góc MQP = 90 độ nên là hình vuông
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông
a: ABCD là hình thoi
=>AC là phân giác của góc BAD; CA là phân giác của góc BCD; BD là phân giác của góc ABC; DB là phân giác của góc ADC; AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔBMO vuông tại M và ΔBNO vuông tại N có
BO chung
\(\hat{MBO}=\hat{NBO}\)
Do đó: ΔBMO=ΔBNO
=>OM=ON
Xét ΔCNO vuông tại N và ΔCPO vuông tại P có
CO chung
\(\hat{NCO}=\hat{PCO}\)
Do đó: ΔCNO=ΔCPO
=>ON=OP
Xét ΔDPO vuông tại P và ΔDQO vuông tại Q có
DO chung
\(\hat{PDO}=\hat{QDO}\)
Do đó: ΔDPO=ΔDQO
=>OP=OQ
=>OM=ON=OP=OQ
b: Ta có: OM⊥AB
AB//CD
Do đó: OM⊥CD
OM⊥CD
OP⊥CD
mà OM,OP có điểm chung là O
nên M,O,P thẳng hàng
c: ON⊥BC
BC//AD
Do đó: ON⊥AD
ON⊥AD
AD⊥OQ
mà ON,OQ có điểm chung là O
nên N,O,Q thẳng hàng
mà ON=OQ
nên O là trung điểm của NQ
M,O,P thẳng hàng
mà OM=OP
nên O là trung điểm của MP
Xét tứ giác MNPQ có
O là trung điểm chung của MP và NQ
=>MNPQ là hình bình hành
Hình bình hành MNPQ có MP=NQ
nên MNPQ là hình chữ nhật
a) Chứng minh ∆AOP= ∆BOR Ta có: •OA= OB (vì O là tâm hình vuông). • AOP= BOR = 90° ( đó m|n) • APO = BR (hai góc đối đỉnh). ⟹ ∆AOP= ∆OBR (cạnh – góc – cạnh). b) Chứng minh OP=OR=OS=OQ Từ câu a) suy ra:
•OP = OR Tương tự, xét các cặp tam giác: •∆BOR=∆COS ⟹ OR=OS, •∆COS=∆DOQ ⟹ OS. ⟹ OP=OR=OS=OQ.
c) Chứng minh PRQS là hình vuông
Ta có: •OP=OR=OS=OQ⟹ O là tâm của PRQS. PR|QS (vì m |n). • PR= QS.
≈PRQS là hình vuông ⟹ � là hình vuông.
L
Junjfg