Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có DAOK = DCOH Þ OK =OH, DDOE = DBOF Þ OE = OF Þ EHFK là hình bình hành
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔOAK và ΔOCH có
\(\widehat{OAK}=\widehat{OCH}\)(hai góc so le trong, AK//CH)
OA=OC
\(\widehat{AOK}=\widehat{COH}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔOAK=ΔOCH
=>OK=OH
=>O là trung điểm của KH
Xét ΔOAE và ΔOCF có
\(\widehat{EAO}=\widehat{FCO}\)(hai góc so le trong, AE//CF)
OA=OC
\(\widehat{AOE}=\widehat{COF}\)
Do đó: ΔOAE=ΔOCF
=>OE=OF
=>O là trung điểm của EF
Xét tứ giác EKFH có
O là trung điểm chung của EF và KH
=>EKFH là hình bình hành
ABCD là hbh=> AD//BC=> góc DAC= góc ACB và AO=OC
Xét tam giác AOE và tam giác COF ta có
góc AOE = góc COF (2 góc đối xừng)
AO=OC
góc DAC= góc ACB
=> tam giác AOE = tam giác COF=> OE=OF
CHứng minh tương tự ta có tam giác AOK= tam giác COH=> OK=OH
Xét tứ giác EHFK có EH và FK là 2 đường chéo cắt nhau tại O
lại có OE=OF
OH=OK
=> EHFk là hình bình hành (do 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
ABCD là hbh=> AD//BC=> góc DAC= góc ACB và AO=OC
Xét tam giác AOE và tam giác COF ta có
góc AOE = góc COF (2 góc đối xừng)
AO=OC
góc DAC= góc ACB
=> tam giác AOE = tam giác COF=> OE=OF
CHứng minh tương tự ta có tam giác AOK= tam giác COH=> OK=OH
Xét tứ giác EHFK có EH và FK là 2 đường chéo cắt nhau tại O
lại có OE=OF
OH=OK
=> EHFk là hình bình hành (do 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Xét ΔAOM và ΔCON có
\(\widehat{MAO}=\widehat{NCO}\)
OA=OC
\(\widehat{AOM}=\widehat{CON}\)
Do đó: ΔAOM=ΔCON
Suy ra:OM=ON
hay M và N đối xứng nhau qua O
Lời giải :
Để \(MPNQ\) là hình chữ nhật thì \(MN=PQ\)
Ta có : \(AM=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC=BN\) , \(AM\) song song với BN \(\Rightarrow AMNB\) là hình bình hành \(\Rightarrow AB=MN\Rightarrow MN=CD\)
Ta lại có : \(AP=PQ=QC\) ( cmt ) \(\Rightarrow PQ=\dfrac{1}{3}AC\)
\(\Rightarrow CD=MN=PQ=\dfrac{1}{3}AC\)
\(\dfrac{CA}{CD}=3\) thì MPNQ là hình chữ nhật
a) Ta chứng minh A N = C M A N ∥ C M ⇒ A M C N là hình bình hành.
Vì O là giao điểm của AC và BD, ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm AC
Do ANCM là hình bình hành có AC và MN là hai đường chéo
⇒ O là trung điểm MN
b. Ta có: EM//AC nên E M D ^ = A C D ^ (2 góc so le trong)
NF//AC nên B N F ^ = B A C ^ (2 góc so le trong)
Mà A C D ^ = B A C ^ (vì AB//DC, tính chất hình chữ nhật)
⇒ E M D ^ = B N F ^
Từ đó chứng minh được ∆ E D M = ∆ F B N ( g . c . g )
⇒ E M = F N
Lại có EM//FN (vì cùng song song với AC)
Nên tứ giác ENFM là hình bình hành
c) Tứ giác ANCM là hình thoi Û AC ^ MN tại O Þ M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng đi qua O, vuông góc AC và cắt CD, AB.
Khi đó M và N là trung điểm của CD và AB.
d) Ta chứng minh được DBOC cân tại O ⇒ O C B ^ = O B C ^ v à N F B ^ = O C F ^ (đv) Þ DBFI cân tại I Þ IB = IF (1)
Ta lại chứng minh được DNIB cân tại I Þ IN = IB (2)
Từ (1) và (2) Þ I là trung điểm của NF.
A B C D O M N
Xét tg OAM và tg OCN có
\(\widehat{BAC}=\widehat{ACD}\) (góc so le trong)
OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
\(\widehat{AOM}=\widehat{CON}\) (góc đối đỉnh)
=> tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN
Ta có
AB=CD (cạnh đối hbh) => AB-AM=CD-CN => MB=ND (1)
Ta có
AB//CD (cạnh đối hbh) => MB//ND (2)
Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)
Xét tg OAM và tg OCN có
���^=���^BAC=ACD (góc so le trong)
OA=OC (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
���^=���^AOM=CON (góc đối đỉnh)
=> tg OAM = tg OCN (g.c.g) => AM=CN
Ta có
AB=CD (cạnh đối hbh) => AB-AM=CD-CN => MB=ND (1)
Ta có
AB//CD (cạnh đối hbh) => MB//ND (2)
Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)
xét tam giác OAM và OCN ta có:
góc BAC= góc ACD(slt)
OA=OC(TC)
góc OAM=góc CON(đối dỉnh)
=> tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g) => AM=CN
Ta có
AB=CD (cạnh đối hbh) => AB-AM=CD-CN => MB=ND (1)
Ta có
AB//CD (cạnh đối hbh) => MB//ND (2)
Từ (1) và (2) => MBND là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hình bình hành)
Vì ����ABCD là hình bình hành nên ta có:
+ Hai đường chéo ��AC và ��BD cắt nhau tại �O nên ��=��OA=OC, ��=��OB=OD.
+ ��AB // ��CD nên ��AM // ��CN suy ra ���^=���^OAM=OCN (hai góc so le trong).
Xét Δ���ΔOAM và Δ ���Δ OCN có:
$\widehat{O A M} = \widehat{O C N} (chứng minh trên)
��=��OA=OC (chứng minh trên)
���^ =AOM =\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh)
Do đó Δ ���=Δ ���Δ OAM=Δ OCN (g.c.g).
Suy ra ��=��AM=CN (hai cạnh tương ứng).
Mặt khác, ��=��AB=CD (chứng minh trên);
��=��+��AB=AM+BM; ��=��+��CD=CN+DN.
Suy ra ��=��BM=DN.
Xét tứ giác ����MBND có:
��BM // ��DN (vì ��AB // ...
Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:
• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.
• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN���^=���^ (hai góc so le trong).
Xét ∆OAM và ∆OCN có:
ˆOAM=ˆOCN���^=���^ (chứng minh trên)
OA = OC (chứng minh trên)
ˆAOM=ˆCON���^=���^ (hai góc đối đỉnh)
Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).
Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)
Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.
Suy ra BM = DN.
Xét tứ giác MBND có:
• BM // DN (vì AB // CD)
• BM = DN (chứng minh trên)
Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.
Vì ����ABCD là hình bình hành nên ta có:
+ Hai đường chéo ��AC và ��BD cắt nhau tại �O nên ��=��OA=OC, ��=��OB=OD.
+ ��AB // ��CD nên ��AM // ��CN suy ra góc OAM= góc OCN( 2 góc so le trong)
Xét Δ���ΔOAM và Δ ���Δ OCN có:
góc OAM = góc OCN (chứng minh trên)
OA=OC(cmt)
góc AOM= góc CON(2 góc đối đỉnh)
Do đó Δ ���=Δ ���Δ OAM=Δ OCN (g.c.g).
Suy ra ��=��AM=CN (hai cạnh tương ứng).
Mặt khác, ��=��AB=CD (chứng minh trên);
��=��+��AB=AM+BM; ��=��+��CD=CN+DN.
Suy ra ��=��BM=DN.
Xét tứ giác ����MBND có:
��BM // ��DN (vì ��AB // ��CD)
��=��BM=DN (chứng minh trên)
Do đó, tứ giác ����MBND là hình bình hành.
���^=���^