Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​BM; ��=23��CG=32​CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC. (điều phải chứng minh).

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​BM; ��=23��CG=32​CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC. (điều phải chứng minh).

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​BM; ��=23��CG=32​CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC. (điều phải chứng minh).

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​BM; ��=23��CG=32​CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC. (điều phải chứng minh).

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​BM; ��=23��CG=32​CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC. (điều phải chứng minh).

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$    là trọng tâm tam     giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​  BM; ��=23��CG  =32​  CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=2 3​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC. (điều phải chứng minh).

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​BM; ��=23��CG=32​CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC.

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​BM; ��=23��CG=32​CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC.

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​BM; ��=23��CG=32​CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC. (điều phải chứng minh).

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒��=23��⇒BG=32​BM; ��=23��CG=32​CN

⇒��=32��⇒BM=23​BG; ��=32��CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32��+32��>32��23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy ��+��>32��BM+CN>23​BC. (điều phải chứng minh).

Xét tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$ cắt nhau tại $G$.

Suy ra $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

⇒𝐵𝐺=23𝐵𝑀⇒BG=32​BM; 𝐶𝐺=23𝐶𝑁CG=32​CN

⇒𝐵𝑀=32𝐵𝐺⇒BM=23​BG; 𝐶𝑁=32𝐶𝐺CN=23​CG.

Do đó ta phải chứng minh 32𝐵𝐺+32𝐶𝐺>32𝐵𝐶23​BG+23​CG>23​BC hay $BG+CG>BC$. (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy 𝐵𝑀+𝐶𝑁>32𝐵𝐶BM+CN>23​BC. (điều phải chứng minh).

Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\).

Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\)

\(\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B M\); \(C G = \frac{2}{3} C N\)

\(\Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G\); \(C N = \frac{3}{2} C G\).

Do đó ta phải chứng minh \(\frac{3}{2} B G + \frac{3}{2} C G > \frac{3}{2} B C\) hay \(B G + C G > B C\). (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy \(B M + C N > \frac{3}{2} B C\). (điều phải chứng minh).

Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm AB. G là trọng tâm nên: BG=\frac{2}{3}BM,\quad CG=\frac{2}{3}CN Xét tam giác , theo bất đẳng thức tam giác: BG+CG>BC Thay vào: \frac{2}{3}BM+\frac{2}{3}CN>BC Nhân cả hai vế với : BM+CN>\frac{3}{2}BC Điều phải chứng minh.

Sai

Trong tam giác ABC, G là giao điểm của hai đường trung tuyến BM và CN, nên G là trọng tâm của tam giác.

Theo tính chất trọng tâm, ta có:

GB= 2/3 BM

GC= 2/3 CN

Xét tam giác GBC, áp dụng bất đẳng thức tam giác (tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại), ta có:

GB + GC > BC

Thay các biểu thức theo BM và CN ở trên vào, ta được:

2/3 BM + 2/3 CN >BC

Bc là đường chung tuyến của ab

Ta có: BM, CN là hai đường trung tuyến nên: M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB Xét tam giác ABC: Theo bất đẳng thức tam giác trong các tam giác BMC và CNA: CN > 1/2 * BC BM > 1/2 * BC Cộng hai bất đẳng thức: BM + CN > 1/2 * BC + 1/2 * BC = BC Mặt khác, do tính chất hình học (trung tuyến trong tam giác không nhỏ hơn cạnh đối diện trong trường hợp tổng), ta suy ra: BM + CN > 3/2 * BC - Vậy: BM + CN > 3/2 * BC

Fhsgfdh

BM+CN3/2BC