Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên mỗi nhân tử của VP đều dương,áp dụng bđt Cauchy:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=b\)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\le\frac{b+c-a+a+c-b}{2}=c\)
\(\sqrt{\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\le\frac{a+c-b+a+b-c}{2}=a\)
Nhân theo vế => ddpcm "=" khi a=b=c
Ta có: \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right).\left(c^2+d^2\right)\)
<=>\(a^2c^2+b^2d^2+2abcd\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
<=>\(2abcd\le a^2d^2+b^2c^2\)
<=>\(0\le a^2d^2+b^2c^2-2abcd\)
<=>\(0\le\left(ad-bc\right)^2\)(thoả mãn)
Dấu "=" xảy ra khi: \(ad-bc=0=>ad=bc=>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
=>ĐPCM
oh, bunhia copxki kìa :V lâu lắm mới thấy đăng toán lớp 9
a) \(\Leftrightarrow a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2d^2=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)(luôn đúng)
b) từ câu a ta có:
\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ac-bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left(ac-bd\right)^2=0\Leftrightarrow ac=bd\)
Theo đề bài ta có:
\(\hept{\begin{cases}-1\le a\le2\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a-2\right)\le0\Rightarrow a^2-a-2\le0\\-1\le b\le2\Rightarrow\left(b+1\right)\left(b-2\right)\le0\Rightarrow b^2-b-2\le0\\-1\le c\le2\Rightarrow\left(c+1\right)\left(c-2\right)\le0\Rightarrow c^2-c-2\le0\end{cases}\Rightarrow}\)\(a^2+b^2+c^2\ge\left(a+b+c\right)+6=6\)
Ko mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)
Khi đó \(f\left(x\right)=a^2\) là hàm lồi trên \(\left[-1;2\right]\) và \(\left(-1;-1;2\right)›\left(a;b;c\right)\)
Áp dụng BĐT Karamata ta có:
\(6=\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2+2^2\ge a^2+b^2+c^2\)
Xảy ra khi a=b=-1;c=2
bài này điểm rơi hơi thộn, mò được ngay thì hơi khó :))
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(b^2\left(c-b\right)=\frac{1}{2}\cdot b\cdot b\left(2c-2b\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{b+b-2c-2b}{3}\right)^3=\frac{4c^3}{27}\)
Và \(a^2\left(b-c\right)\le0\). Khi đó
\(Q\le\frac{4c^3}{27}+c^2\left(1-c\right)=c^2-\frac{23}{27}c^3=c^2\left(1-\frac{23}{27}\cdot c\right)\)
\(=\frac{54^2}{23^2}c^2\left(1-\frac{23}{27}c\right)\le\frac{1}{3^3}\cdot\frac{54^2}{23^2}=\frac{108}{529}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=0;b=\frac{12}{23};c=\frac{18}{23}\)
A,\(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+b^2+2ab\)
\(2\left(a^2+b^2\right)=2a^2+2b^2=a^2+b^2+a^2+b^2\) ta chi can so sanh \(a^2+b^2va2ab\)
ap dung Bat dang thuc cosi ta co \(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+2ab\le a^2+b^2+a^2+b^2\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
B, tuong tu