Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TenAnh1
TenAnh1
A = (-4, -6.26)
A = (-4, -6.26)
A = (-4, -6.26)
B = (11.36, -6.26)
B = (11.36, -6.26)
B = (11.36, -6.26)
C = (-4.1, -6.64)
C = (-4.1, -6.64)
C = (-4.1, -6.64)
D = (11.26, -6.64)
D = (11.26, -6.64)
D = (11.26, -6.64)
E = (-4.34, -6.06)
E = (-4.34, -6.06)
E = (-4.34, -6.06)
F = (11.02, -6.06)
F = (11.02, -6.06)
F = (11.02, -6.06)
Có \(BH\perp AC\). (1)
\(\widehat{ADC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) vì vậy\(AC\perp DC\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra BH//DC. (3)
Tương tự HC//BD (vì cùng vuông góc với AB). (4)
Từ (3);(4) suy ra tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Do O là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}\).
Do M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=2\overrightarrow{HM}=\overrightarrow{HD}\).
Vì vậy \(\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}=2\overrightarrow{HO}\).
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}\)
\(=3\overrightarrow{HO}+2\overrightarrow{HO}=2\left(\overrightarrow{HO}+\overrightarrow{OH}\right)+\overrightarrow{HO}\)
\(=2.\overrightarrow{0}+\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{HO}\).
c) Ta có:
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)\(=3\overrightarrow{OG}\) (theo tính chất trọng tâm tam giác). (5)
Mặt khác theo câu b)
\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OH}\). (6)
Theo (5) và (6) ta có: \(\overrightarrow{OH}=3\overrightarrow{OG}\).
Suy ra ba điểm O, H, G thẳng hàng ( đường thẳng Ơ-le).
a) Mình nghĩ tam giác ABC nhọn?
Gọi M là trung điểm của BC.
Theo định lý về khoảng cách từ trực tâm đến một điểm và khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện, ta có AH = 2OM.
Mà AH // OM (Do cùng vuông góc với BC)
Nên \(\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}\).
Ta có: \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB};\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MC}\Rightarrow\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AH}\).
\(\Rightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}\left(đpcm\right)\)
b) Ở câu a ta đã chứng minh:
\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Tương tự: \(\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA};\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\).
Cộng vế với vế ta có: \(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{CH}=2\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}\right)=2\overrightarrow{OH}\) (câu a).
Đổi dấu hai vế ta có đpcm.
Giải thích các bước giải:
a) Kẻ đường kính BF.
Ta có: AH⊥BC,CF⊥BC⇒AH//CFAH⊥BC,CF⊥BC⇒AH//CF
Lại có AF⊥AB,CH⊥AB⇒AF//CHAF⊥AB,CH⊥AB⇒AF//CH
⇒AHCF⇒AHCF là hình bình hành.
⇒−−→AH=−−→FC⇒AH→=FC→.
Lại có OIOI là đường trung bình của tam giác BCF nên −→OI=12−−→FCOI→=12FC→
Vậy −−→AH=−−→FC=2−→OIAH→=FC→=2OI→.
b) Ta có: −−→OH=−−→OA+−−→AH=−−→OA+2−→OI=−−→OA+−−→OB+−−→OCOH→=OA→+AH→=OA→+2OI→=OA→+OB→+OC→
c) Do GG là trọng tâm tam giác ABC nên−−→OA+−−→OB+−−→OC=3−−→OG⇒−−→OG=13(−−→OA+−−→OB+−−→OC)=13−−→OHOA→+OB→+OC→=3OG→⇒OG→=13(OA→+OB→+OC→)=13OH→
Vậy ba điểm O,H,GO,H,G thẳng hàng.
Đẳng thức
OA⃗+OB⃗+OC⃗=OH⃗𝑂𝐴⃗+𝑂𝐵⃗+𝑂𝐶⃗=𝑂𝐻⃗là đúng.
Đẳng thức
HA⃗+HB⃗+HC⃗=2HO⃗𝐻𝐴⃗+𝐻𝐵⃗+𝐻𝐶⃗=2𝐻𝑂⃗là đúng.
a)
Vì D đối xứng A qua O
OA+OD=0(sai).OD=-OA Vậy
HA+HB+HC=2HO+0=2HO
b)
OA+OB+OC=-2OH+3OH
OA+OB+OC=OH
c)
Các đẳng thức (a),(b),(c), đều đã được cm .Đẳng thức (c) chứng tỏ ba điểm O,G,H thẳng hàng và GH=-2GO, đây chính là nội dung của đường thẳng Euler
Ta cũng có HB⃗+HC⃗=2HM⃗𝐻𝐵⃗+𝐻𝐶⃗=2𝐻𝑀⃗.
Từ AH⃗=2OM⃗𝐴𝐻⃗=2𝑂𝑀⃗, suy ra HA⃗=-2OM⃗𝐻𝐴⃗=−2𝑂𝑀⃗.
Ta có HA⃗+HB⃗+HC⃗=HA⃗+2HM⃗𝐻𝐴⃗+𝐻𝐵⃗+𝐻𝐶⃗=𝐻𝐴⃗+2𝐻𝑀⃗.
Sử dụng HO⃗=HM⃗+MO⃗=HM⃗−12HA⃗𝐻𝑂⃗=𝐻𝑀⃗+𝑀𝑂⃗=𝐻𝑀⃗−12𝐻𝐴⃗. HM⃗=HO⃗+12HA⃗𝐻𝑀⃗=𝐻𝑂⃗+12𝐻𝐴⃗ Thay vào biểu thức: HA⃗+2(HO⃗+12HA⃗)=HA⃗+2HO⃗+HA⃗=2HA⃗+2HO⃗𝐻𝐴⃗+2(𝐻𝑂⃗+12𝐻𝐴⃗)=𝐻𝐴⃗+2𝐻𝑂⃗+𝐻𝐴⃗=2𝐻𝐴⃗+2𝐻𝑂⃗.
Kiểm tra lại:
Ta có HA⃗+HB⃗+HC⃗=HA⃗+(HO⃗+OB⃗)+(HO⃗+OC⃗)=HA⃗+2HO⃗+OB⃗+OC⃗𝐻𝐴⃗+𝐻𝐵⃗+𝐻𝐶⃗=𝐻𝐴⃗+(𝐻𝑂⃗+𝑂𝐵⃗)+(𝐻𝑂⃗+𝑂𝐶⃗)=𝐻𝐴⃗+2𝐻𝑂⃗+𝑂𝐵⃗+𝑂𝐶⃗.
Vì M𝑀là trung điểm BC𝐵𝐶, OB⃗+OC⃗=2OM⃗𝑂𝐵⃗+𝑂𝐶⃗=2𝑂𝑀⃗.
Biểu thức trở thành HA⃗+2HO⃗+2OM⃗𝐻𝐴⃗+2𝐻𝑂⃗+2𝑂𝑀⃗.
Vì HA⃗=-2OM⃗𝐻𝐴⃗=−2𝑂𝑀⃗, ta có -2OM⃗+2HO⃗+2OM⃗=2HO⃗−2𝑂𝑀⃗+2𝐻𝑂⃗+2𝑂𝑀⃗=2𝐻𝑂⃗. Answer: Do đó HA⃗+HB⃗+HC⃗=2HO⃗𝐻𝐴⃗+𝐻𝐵⃗+𝐻𝐶⃗=𝟐𝐇𝐎⃗. b) Chứng minh OA⃗+OB⃗+OC⃗=OH⃗𝑂𝐴⃗+𝑂𝐵⃗+𝑂𝐶⃗=𝑂𝐻⃗ Step 1: Sử dụng kết quả từ câu a) Từ câu a), ta có HA⃗+HB⃗+HC⃗=2HO⃗𝐻𝐴⃗+𝐻𝐵⃗+𝐻𝐶⃗=2𝐻𝑂⃗. Step 2: Phân tích các vector theo điểm O𝑂 HA⃗=OA⃗−OH⃗𝐻𝐴⃗=𝑂𝐴⃗−𝑂𝐻⃗ HB⃗=OB⃗−OH⃗𝐻𝐵⃗=𝑂𝐵⃗−𝑂𝐻⃗ HC⃗=OC⃗−OH⃗𝐻𝐶⃗=𝑂𝐶⃗−𝑂𝐻⃗ Step 3: Thay thế vào biểu thức (OA⃗−OH⃗)+(OB⃗−OH⃗)+(OC⃗−OH⃗)=2HO⃗(𝑂𝐴⃗−𝑂𝐻⃗)+(𝑂𝐵⃗−𝑂𝐻⃗)+(𝑂𝐶⃗−𝑂𝐻⃗)=2𝐻𝑂⃗ OA⃗+OB⃗+OC⃗−3OH⃗=-2OH⃗𝑂𝐴⃗+𝑂𝐵⃗+𝑂𝐶⃗−3𝑂𝐻⃗=−2𝑂𝐻⃗ Step 4: Rút gọn để tìm điều phải chứng minh OA⃗+OB⃗+OC⃗=-2OH⃗+3OH⃗=OH⃗𝑂𝐴⃗+𝑂𝐵⃗+𝑂𝐶⃗=−2𝑂𝐻⃗+3𝑂𝐻⃗=𝑂𝐻⃗ Answer: Do đó OA⃗+OB⃗+OC⃗=OH⃗𝑂𝐴⃗+𝑂𝐵⃗+𝑂𝐶⃗=𝐎𝐇⃗. c) Chứng minh GH⃗+2GO⃗=0⃗𝐺𝐻⃗+2𝐺𝑂⃗=0⃗ Step 1: Sử dụng tính chất trọng tâm Với điểm O𝑂bất kỳ, ta có OA⃗+OB⃗+OC⃗=3OG⃗𝑂𝐴⃗+𝑂𝐵⃗+𝑂𝐶⃗=3𝑂𝐺⃗. Step 2: Kết hợp với kết quả câu b) Từ câu b), ta có OA⃗+OB⃗+OC⃗=OH⃗𝑂𝐴⃗+𝑂𝐵⃗+𝑂𝐶⃗=𝑂𝐻⃗.
Vậy 3OG⃗=OH⃗3𝑂𝐺⃗=𝑂𝐻⃗. Step 3: Phân tích các vector theo điểm G𝐺 3OG⃗=OG⃗+GH⃗3𝑂𝐺⃗=𝑂𝐺⃗+𝐺𝐻⃗ 2OG⃗=GH⃗2𝑂𝐺⃗=𝐺𝐻⃗ Step 4: Sắp xếp lại biểu thức GH⃗−2OG⃗=0⃗𝐺𝐻⃗−2𝑂𝐺⃗=0⃗ GH⃗+2GO⃗=0⃗𝐺𝐻⃗+2𝐺𝑂⃗=0⃗(vì GO⃗=−OG⃗𝐺𝑂⃗=−𝑂𝐺⃗). Answer: Do đó GH⃗+2GO...