Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Do A'M và BC cắt nhau tại trung điểm K của mỗi đường nên tứ giác A'BMC là hình bình hành
\(\Rightarrow MC//A'B;MC=A'B\). (1)
Tương tự ta có \(MC//AB';MC=AB'\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AB'//A'B;A'B=AB'\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AB'A'B là hình bình hành
\(\Rightarrow\) AA' và BB' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Tương tự, BB' và CC' cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vậy AA', BB', CC' đồng quy.
b) Gọi G là giao điểm của AK và MN.
\(\Delta AMA'\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}KA'=KM\\NA=NA'\\G\in AK\cap MN\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) G là trọng tâm của tam giác AMA'
\(\Rightarrow AG=\frac{2}{3}AK\).
\(\Delta ABC\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}KB=KC\\G\in AK\\AG=\frac{2}{3}AK\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) G là trọng tâm của tam giác ABC.
Vậy MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC.
Nối A vs N
a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF
=> AN//CE và AN =1/2. CE
=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)
xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;
xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD
Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)
Từ (1),(2)=> IK=MN
Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD
Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)
=> tg MNIK là hbh (đpcm)
b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN
=> IG=MG và KG=NG
Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM
K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN
xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)
xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)
Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF
=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)
Nối A vs N
a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF
=> AN//CE và AN =1/2. CE
=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)
xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;
xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD
Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)
Từ (1),(2)=> IK=MN
Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD
Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)
=> tg MNIK là hbh (đpcm)
b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN
=> IG=MG và KG=NG
Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM
K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN
xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)
xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)
Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF
=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)
Ba điểm M, N, G luôn thẳng hàng, do đó đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của
△ABC△𝐴𝐵𝐶.Tương tự, ta có
BB′⃗=2BN⃗𝐵𝐵′⃗=2𝐵𝑁⃗và
CC′⃗=2CN⃗𝐶𝐶′⃗=2𝐶𝑁⃗, chứng tỏ N cũng là trung điểm của BB' và CC'.
Vậy ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy tại một điểm N.
a)
Vì N là trung điểm chung , ba đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng quy tại điểm N
b)
Vì GM=-2GN, hai vector GM và GN cùng phương và có chung điểm G.Do đó, ba điểm M,G,N thẳng hàng .Khi M di động , đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định G
Trung điểm K của BC: k⃗=b⃗+c⃗2𝑘⃗=𝑏⃗+𝑐⃗2. Vì K là trung điểm của MA', ta có k⃗=m⃗+a′⃗2𝑘⃗=𝑚⃗+𝑎′⃗2, suy ra a′⃗=2k⃗−m⃗=b⃗+c⃗−m⃗𝑎′⃗=2𝑘⃗−𝑚⃗=𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗.
Tương tự, ta có: b′⃗=a⃗+c⃗−m⃗𝑏′⃗=𝑎⃗+𝑐⃗−𝑚⃗ c′⃗=a⃗+b⃗−m⃗𝑐′⃗=𝑎⃗+𝑏⃗−𝑚⃗ Step 3: Tìm điểm đồng quy N Gọi N là điểm đồng quy. Ta cần chứng minh tồn tại một điểm N sao cho N nằm trên cả ba đoạn thẳng AA', BB', CC'. Nếu N là trung điểm của MM', ta có n⃗=m⃗+m′⃗2𝑛⃗=𝑚⃗+𝑚′⃗2.
Xét trung điểm N của đoạn thẳng MM', ta có n⃗=12(m⃗+a⃗+b⃗+c⃗−m⃗)=a⃗+b⃗+c⃗2𝑛⃗=12(𝑚⃗+𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗)=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗2.
Ta kiểm tra xem N có nằm trên AA' hay không. an⃗=n⃗−a⃗=a⃗+b⃗+c⃗2−a⃗=b⃗+c⃗−a⃗2𝑎𝑛⃗=𝑛⃗−𝑎⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗2−𝑎⃗=𝑏⃗+𝑐⃗−𝑎⃗2 na′⃗=a′⃗−n⃗=b⃗+c⃗−m⃗−a⃗+b⃗+c⃗2=b⃗+c⃗−a⃗2−m⃗𝑛𝑎′⃗=𝑎′⃗−𝑛⃗=𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗−𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗2=𝑏⃗+𝑐⃗−𝑎⃗2−𝑚⃗ Điều này không chứng minh N là trung điểm của AA'. Thay vào đó, ta sử dụng tính chất trọng tâm. Vector vị trí của N là n⃗=a⃗+b⃗+c⃗2𝑛⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗2.
Ta biểu diễn vector na′⃗𝑛𝑎′⃗theo na⃗𝑛𝑎⃗: na′⃗=a′⃗−n⃗=(b⃗+c⃗−m⃗)−a⃗+b⃗+c⃗2=b⃗+c⃗−a⃗2−m⃗𝑛𝑎′⃗=𝑎′⃗−𝑛⃗=(𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗)−𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗2=𝑏⃗+𝑐⃗−𝑎⃗2−𝑚⃗ na⃗=a⃗−n⃗=a⃗−a⃗+b⃗+c⃗2=a⃗−b⃗−c⃗2𝑛𝑎⃗=𝑎⃗−𝑛⃗=𝑎⃗−𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗2=𝑎⃗−𝑏⃗−𝑐⃗2 Ta thấy na′⃗=−na⃗−m⃗𝑛𝑎′⃗=−𝑛𝑎⃗−𝑚⃗, không có dạng na′⃗=k⋅na⃗𝑛𝑎′⃗=𝑘⋅𝑛𝑎⃗. Sử dụng phương pháp khác:
Gọi N là trung điểm của MM'. Ta có n⃗=m⃗+a⃗+b⃗+c⃗−m⃗2=a⃗+b⃗+c⃗2𝑛⃗=𝑚⃗+𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗2=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗2.
Ta chứng minh N là trung điểm của AA'.
Trung điểm AA' có vector vị trí là a⃗+a′⃗2=a⃗+b⃗+c⃗−m⃗2𝑎⃗+𝑎′⃗2=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗2.
Điều này chỉ đúng nếu m⃗=0⃗𝑚⃗=0⃗, tức M trùng với gốc O, không phải điểm tùy ý. Hãy xem xét lại các vector vị trí của A', B', C': a′⃗=b⃗+c⃗−m⃗𝑎′⃗=𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗ b′⃗=a⃗+c⃗−m⃗𝑏′⃗=𝑎⃗+𝑐⃗−𝑚⃗ c′⃗=a⃗+b⃗−m⃗𝑐′⃗=𝑎⃗+𝑏⃗−𝑚⃗ Gọi N là điểm đồng quy.
Ta có a⃗+a′⃗=a⃗+b⃗+c⃗−m⃗𝑎⃗+𝑎′⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗. b⃗+b′⃗=a⃗+b⃗+c⃗−m⃗𝑏⃗+𝑏′⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗ c⃗+c′⃗=a⃗+b⃗+c⃗−m⃗𝑐⃗+𝑐′⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗ Do đó, trung điểm của AA', BB', CC' đều trùng nhau tại một điểm có vector vị trí là a⃗+b⃗+c⃗−m⃗2𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗2.
Gọi điểm này là N.
Ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. Answer: Ba đường thẳng AA', BB', CC' đồng quy tại điểm N, là trung điểm chung của cả ba đoạn thẳng AA', BB', và CC'. b) Chứng minh rằng khi M di động thì đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của ΔABCΔ𝐴𝐵𝐶 Step 1: Xác định điểm N và G Từ phần a), ta có vector vị trí của điểm N (điểm đồng quy) là n⃗=a⃗+b⃗+c⃗−m⃗2𝑛⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗2.
Vector vị trí của trọng tâm G của tam giác ABC là g⃗=a⃗+b⃗+c⃗3𝑔⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗3. Step 2: Chứng minh M, N, G thẳng hàng Để chứng minh ba điểm M, N, G thẳng hàng, ta cần chứng minh vector mn⃗𝑚𝑛⃗và mg⃗𝑚𝑔⃗cùng phương, tức là mn⃗=k⋅mg⃗𝑚𝑛⃗=𝑘⋅𝑚𝑔⃗với k là một hằng số.
Tính vector mn⃗𝑚𝑛⃗: mn⃗=n⃗−m⃗=a⃗+b⃗+c⃗−m⃗2−m⃗=a⃗+b⃗+c⃗−3m⃗2𝑚𝑛⃗=𝑛⃗−𝑚⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−𝑚⃗2−𝑚⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−3𝑚⃗2 Tính vector mg⃗𝑚𝑔⃗: mg⃗=g⃗−m⃗=a⃗+b⃗+c⃗3−m⃗=a⃗+b⃗+c⃗−3m⃗3𝑚𝑔⃗=𝑔⃗−𝑚⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗3−𝑚⃗=𝑎⃗+𝑏⃗+𝑐⃗−3𝑚⃗3 Step 3: Tìm mối quan hệ giữa các vector Ta thấy mn⃗=32⋅mg⃗𝑚𝑛⃗=32⋅𝑚𝑔⃗.
Vì mn⃗𝑚𝑛⃗và mg⃗𝑚𝑔⃗cùng phương, ba điểm M, N, G thẳng hàng.
Tỉ lệ thức mn⃗=32⋅mg⃗𝑚𝑛⃗=32⋅𝑚𝑔⃗là hằng số và không phụ thuộc vào vị trí của M.
Do đó, khi M di động, đường thẳng MN luôn đi qua điểm G cố định. Answer: Đường thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của ΔABCΔ𝐴𝐵𝐶vì mn⃗=32⋅mg⃗𝑚𝑛⃗=32⋅𝑚𝑔⃗, chứng tỏ M, N, G thẳng hàng và G là một điểm cố định không phụ thuộc vào M.