Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TL:
Đáp án:
\(\text{KD = KA + AD = - AK + AD }\)
\(=-\frac{1}{2}\left(AM+AN\right)+\frac{1}{2}\left(AB+AC\right)\)
\(=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}AB+\frac{2}{3}AC\right)+\frac{1}{2}AB+\frac{1}{2}AC\)
\(=\frac{1}{4}AB+\frac{1}{6}AC\)
HT
A B C D I K
a)
- \(\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\) (t/c trung điểm)
\(=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)
- \(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)
\(=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\)
b) Ta có: \(\overrightarrow{BK}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{4}{3}\overrightarrow{BI}\)
=> B,K,I thẳng hàng
c) \(27\overrightarrow{MA}-8\overrightarrow{MB}=2015\overrightarrow{MC}\)
\(\Leftrightarrow27\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}\right)-8\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}\right)=2015\overrightarrow{MC}\)
\(\Leftrightarrow27\overrightarrow{MC}+27\overrightarrow{CA}-8\overrightarrow{MC}-8\overrightarrow{CB}-2015\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow-1996\overrightarrow{MC}+27\overrightarrow{CA}-8\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow1996\overrightarrow{CM}=8\overrightarrow{CB}-27\overrightarrow{CA}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{CM}=\frac{8\overrightarrow{CB}-27\overrightarrow{CA}}{1996}\)
Vậy: Dựng điểm M sao cho \(\overrightarrow{CM}=\frac{8\overrightarrow{CB}-27\overrightarrow{CA}}{1996}\)
A B C M N K
Theo các xác định điểm M, N ta có:
\(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}.\)
Theo tính chất trung điểm của MN ta có:
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
Sử dụng quy tắc hiệu hai vectơ có chung điểm gốc B: BK⃗=AK⃗−AB⃗=13AC⃗−AB⃗𝐵𝐾⃗=𝐴𝐾⃗−𝐴𝐵⃗=13𝐴𝐶⃗−𝐴𝐵⃗ Biểu diễn AC⃗𝐴𝐶⃗theo AB⃗𝐴𝐵⃗và BC⃗𝐵𝐶⃗: AC⃗=AB⃗+BC⃗𝐴𝐶⃗=𝐴𝐵⃗+𝐵𝐶⃗. BK⃗=13(AB⃗+BC⃗)−AB⃗=13AB⃗+13BC⃗−AB⃗𝐵𝐾⃗=13(𝐴𝐵⃗+𝐵𝐶⃗)−𝐴𝐵⃗=13𝐴𝐵⃗+13𝐵𝐶⃗−𝐴𝐵⃗ BK⃗=−23AB⃗+13BC⃗𝐵𝐾⃗=−23𝐴𝐵⃗+13𝐵𝐶⃗ Step 3: Chứng minh sự cùng phương của BI và BK So sánh các hệ số của BA⃗𝐵𝐴⃗(hoặc AB⃗𝐴𝐵⃗) và BC⃗𝐵𝐶⃗trong hai biểu thức BI⃗𝐵𝐼⃗và BK⃗𝐵𝐾⃗.
Ta có BI⃗=−12AB⃗+14BC⃗𝐵𝐼⃗=−12𝐴𝐵⃗+14𝐵𝐶⃗.
Xét tỉ lệ giữa các hệ số: h s ca AB⃗trong BK⃗h s ca AB⃗trong BI⃗=-2/3-1/2=43hsca𝐴𝐵⃗trong𝐵𝐾⃗hsca𝐴𝐵⃗trong𝐵𝐼⃗=−2/3−1/2=43 h s ca BC⃗trong BK⃗h s ca BC⃗trong BI⃗=1/31/4=43hsca𝐵𝐶⃗trong𝐵𝐾⃗hsca𝐵𝐶⃗trong𝐵𝐼⃗=1/31/4=43 Vì tỉ lệ các hệ số bằng nhau, ta có thể biểu diễn BK⃗𝐵𝐾⃗qua BI⃗𝐵𝐼⃗: BK⃗=43BI⃗𝐵𝐾⃗=43𝐵𝐼⃗ Answer: Do BK⃗=43BI⃗𝐵𝐾⃗=43𝐵𝐼⃗, hai vectơ BI⃗𝐵𝐼⃗và BK⃗𝐵𝐾⃗cùng phương. Vì chúng có chung điểm gốc B, nên ba điểm B, I, K thẳng hàng. Hướng dẫn giải Step 1: Phân tích các vectơ đã cho Phần hướng dẫn giải đã cung cấp sẵn biểu thức cho vectơ BI⃗𝐵𝐼⃗: BI⃗=12(BA⃗+BM⃗)=12(BA⃗+12BC⃗)𝐵𝐼⃗=12(𝐵𝐴⃗+𝐵𝑀⃗)=12𝐵𝐴⃗+12𝐵𝐶⃗ Đây là bước xác định vị trí tương đối của điểm I so với B, A, C. Answer: Phần hướng dẫn giải này là bước đầu tiên trong việc giải quyết bài toán, sử dụng quy tắc trung điểm để biểu diễn vectơ BI⃗𝐵𝐼⃗theo các vectơ gốc BA⃗𝐵𝐴⃗và BC⃗𝐵𝐶⃗.
\(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AD}\)
\(=-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\right)+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)
Nối A vs N
a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF
=> AN//CE và AN =1/2. CE
=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)
xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;
xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD
Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)
Từ (1),(2)=> IK=MN
Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD
Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)
=> tg MNIK là hbh (đpcm)
b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN
=> IG=MG và KG=NG
Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM
K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN
xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)
xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)
Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF
=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)
Nối A vs N
a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF
=> AN//CE và AN =1/2. CE
=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)
xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;
xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD
Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)
Từ (1),(2)=> IK=MN
Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD
Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)
=> tg MNIK là hbh (đpcm)
b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN
=> IG=MG và KG=NG
Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM
K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN
xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)
xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)
Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF
=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)
𝐴𝐾⃗=𝟏𝟒𝐀𝐁⃗+𝟏𝟑𝐀𝐂⃗
Dkjfljco
N𝑁là điểm trên cạnh AC𝐴𝐶sao cho NA=2NC𝑁𝐴=2𝑁𝐶. Vì N𝑁nằm trên đoạn AC𝐴𝐶, ta có AN⃗=23AC⃗𝐴𝑁⃗=23𝐴𝐶⃗. Step 2: Xác định vectơ vị trí của K K𝐾là trung điểm của MN𝑀𝑁, do đó theo quy tắc trung điểm, ta có: AK⃗=AM⃗+AN⃗2𝐴𝐾⃗=𝐴𝑀⃗+𝐴𝑁⃗2 Step 3: Thay thế các biểu thức vectơ Thay thế các biểu thức từ Bước 1 vào công thức ở Bước 2: AK⃗=12AB⃗+23AC⃗2𝐴𝐾⃗=12𝐴𝐵⃗+23𝐴𝐶⃗2 AK⃗=12(12AB⃗+23AC⃗)𝐴𝐾⃗=1212𝐴𝐵⃗+23𝐴𝐶⃗ AK⃗=14AB⃗+13AC⃗𝐴𝐾⃗=14𝐴𝐵⃗+13𝐴𝐶⃗ Answer: AK⃗=14AB⃗+13AC⃗𝐴𝐾⃗=𝟏𝟒𝐀𝐁⃗+𝟏𝟑𝐀𝐂⃗