Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(f\left(x\right)=x^2y^4-4xy^3+2x^2y^2+4y^2+4xy+x^2\)
\(f\left(x\right)=\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4\left(y^3-y\right)x+4y^2\)
\(a=y^4+2y^2+1>0;\forall y\)
\(\Delta'=4\left(y^3-y\right)^2-4y^2\left(y^4+2y^2+1\right)\)
\(=4y^6+4y^2-8y^4-4y^6-8y^4-4y^2=-16y^4\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x;y\)
Đặt \(f\left(x\right)=25x^2+25y^2+9x^2+16y^2+144-72x-96y+24xy-72\)
\(=34x^2+41y^2-72x-96y+24xy+72\)
\(=34x^2+2\left(12y-36\right)x+41y^2-96y+72\)
\(a=34>0\)
\(\Delta'=\left(12y-36\right)^2-34\left(41y^2-96y+72\right)\)
\(=-1250y^2+2400y-1152=-2\left(25y-24\right)^2\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0;\forall x;y\)
Trước tiên ta cần chứng minh:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\left(\forall x;y\right)\)(1)
Ở BĐT này có nhiều cách giải nhưng em giải cách thông thường thôi
BĐT(1) tương đương \(\left(x^4-x^3y\right)+\left(y^4-xy^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\)\(\ge0\left(\forall x;y\right)\)(tự cm nhé)
\(\dfrac{x^4+y^4}{2}\ge\dfrac{x+y}{2}.\dfrac{x^3+y^3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x^4+y^4\right)}{4}\ge\dfrac{(x^4+y^4)+(x^3y+xy^3)}{4}\)( luôn đúng như trên)
\(\Rightarrowđpcm\)
\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}=\frac{x^2+3}{9}+\frac{1}{x^2+3}+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{x^2+3}{9\left(x^2+3\right)}}+\frac{8.\left(0+3\right)}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\)
4x2+4y2+4xy>6y−4(1)4x2+4y2+4xy>6y-4(1)
⇔4x2+4y2+4xy−6y+4>0(2)⇔4x2+4y2+4xy-6y+4>0(2)
⇔4x2+4xy+y2+3y2−6y+3+1>0⇔4x2+4xy+y2+3y2-6y+3+1>0
⇔(2x+y)2+3(y2−2y+1)+1>0⇔(2x+y)2+3(y2-2y+1)+1>0
⇔(2x+<...
Ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy
\Leftrightarrow (x^2 - 4xy + 4y^2) + 3(x^2 + 2x +1) \ge 0⇔(x2−4xy+4y2)+3(x2+2x+1)≥0
\Leftrightarrow (x-2y)^2 + 3(x +1)^2 \ge 0⇔ (x−2y)2+3(x +1)2≥0 (luôn đúng với mọi xx, yy).
Vậy với mọi xx, yy ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy.
Ta có 4�2+4�2+6�+3≥4��4x2+4y2+6x+3≥4xy
⇔(�2−4��+4�2)+3(�2+2�+1)≥0⇔(x2−4xy+4y2)+3(x2+2x+1)≥0
⇔ (�−2�)2+3(� +1)2≥0⇔ (x−2y)2+3(x +1)2≥0
4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy
ta có : 4x2 + 4y2 + 6x + 3 - 4xy ≥ 0
(x2 + 4y2 - 4xy ) + (3x2 + 6x + 3) ≥ 0
( x - 2y )2 + 3(x+1)2 ≥ 0 (*)
lại có : ( x - 2y )2 ≥ 0
3(x+1)2 ≥ 0
=> (*) luôn đúng với mọi x , y => 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy luôn đúng với mọi x , y
- Có: 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy
⇔ (x2 - 4xy + 4y2) + (3x2 + 6x +3) ≥ 0
⇔ (x - 2y)2 + 3.(x+1)2 ≥ 0
mà: (x - 2y)2 ≥ 0; ∀x,y ϵ R và (x+1)2 ≥ 0; ∀x,y ϵ R
=> 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy ; ∀x,y ϵ R (đpcm)
Ta có 4𝑥2+4𝑦2+6𝑥+3≥4𝑥𝑦4x2+4y2+6x+3≥4xy
⇔(𝑥2−4𝑥𝑦+4𝑦2)+3(𝑥2+2𝑥+1)≥0⇔(x2−4xy+4y2)+3(x2+2x+1)≥0
⇔ (𝑥−2𝑦)2+3(𝑥 +1)2≥0⇔ (x−2y)2+3(x +1)2≥0 (luôn đúng với mọi 𝑥x, 𝑦y).
Vậy với mọi 𝑥x, 𝑦y ta có 4𝑥2+4𝑦2+6𝑥+3≥4𝑥𝑦4x2+4y2+6x+3≥4xy.
Ta có \(4 x^{2} + 4 y^{2} + 6 x + 3 \geq 4 x y\)
\(\Leftrightarrow \left(\right. x^{2} - 4 x y + 4 y^{2} \left.\right) + 3 \left(\right. x^{2} + 2 x + 1 \left.\right) \geq 0\)
\(\Leftrightarrow \&\text{nbsp}; \left(\right. x - 2 y \left.\right)^{2} + 3 \left(\right. x \&\text{nbsp}; + 1 \left.\right)^{2} \geq 0\) (luôn đúng với mọi \(x\), \(y\)).
Vậy với mọi \(x\), \(y\) ta có \(4 x^{2} + 4 y^{2} + 6 x + 3 \geq 4 x y\).
4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 >= 4xy
=> (2x)^2 - 2x2y + 2y^2 + 6x + 3 >= 0
=> 2x(2x-2y)-2y(2x-2y)+4xy+6x+3>=0
=> (2x-2y)^2+4xy+6x+3>=0
=> _________+2x(2y-2x)+10x+3>=0
=> _________-2x(2x-2y)+10x+3>=0
=> (2x-2y)2y+10x+3>=0