Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) => \(\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

a) Khi đó, ta có:

 +) \(\frac{bk}{b}=k\)

+) \(\frac{bk+dk}{b+d}=\frac{k\left(b+d\right)}{b+d}=k\)

=> \(\frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d}\)

b) Ta có:

 +) \(\frac{bk-b}{b}=\frac{b\left(k-1\right)}{b}=k-1\)

 +) \(\frac{dk-d}{d}=\frac{d\left(k-1\right)}{d}=k-1\)

=> \(\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\)

c) Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

Do đó \(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\)(1)

\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\left(=k^2\right)\left(đpcm\right)\)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{2018c}{2018d}=\frac{a+2018c}{b+2018d}=\frac{a-2018c}{b-2018d}\)

(Áp dụng tc dãy tỷ số bằng nhau)

Dễ nhất là bạn hãy đặt k đi,  thay vào là nó sẽ ra thôi. 

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow a=bk;c=dk\)

\(\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}=\frac{\left(bk+b\right)^2}{\left(dk+d\right)^2}=\frac{b^2k+2b^2k+b^2}{d^2k+2d^2k+d^2}=\frac{3b^2k}{3d^2k}=\frac{b^2}{d^2}\)

Tương tự vs mấy  cái còn lại là ra ngay thôi

a, Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)'

Ta  có: \(\frac{a}{b}=\frac{bk}{b}=k\left(1\right)\)

\(\frac{3a+2c}{3b+2d}=\frac{3bk+2dk}{3b+2d}=\frac{k\left(3b+2d\right)}{3b+2d}=k\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => đpcm

b, Đặt a/b=c/d=k => a=bk,c=dk

Ta có: \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(1\right)\)

\(\frac{ac}{bd}=\frac{bkdk}{bd}=k^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => đpcm

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow b^2=ac\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ac}{ac+c^2}=\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\left(đpcm\right)\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\) ^=>\(\hept{\begin{cases}a=bk\\b=ck\end{cases}}\)                                                                                                                                                          Do đó:  \(\frac{a}{c}=\frac{bk}{c}=\frac{ck.c}{c}=k^2\) ⁽¹⁾                                                                                                                                              \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{\left(bk\right)^2+b^2}{\left(ck\right)^2+c^2}=\frac{b^2k^2+b^2}{c^2k^2+c^2}=\frac{b^2.\left(k^2+1\right)}{c^2.\left(k^2+1\right)}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{\left(ck\right)^2}{c^2}=\frac{c^2k^2}{c^2}=k^2\) ⁽²⁾          Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) => a=bk,c=dk

Ta có: \(\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}=\frac{\left(bk+b\right)^2}{\left(bk\right)^2+b^2}=\frac{\left[b\left(k+1\right)\right]^2}{b^2k^2+b^2}=\frac{b^2\left(k+1\right)^2}{b^2\left(k^2+1\right)}=\frac{\left(k+1\right)^2}{k^2+1}\left(1\right)\)

\(\frac{\left(c+d\right)^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(dk+d\right)^2}{\left(dk\right)^2+d^2}=\frac{\left[d\left(k+1\right)\right]^2}{d^2k^2+d^2}=\frac{d^2\left(k+1\right)^2}{d^2\left(k^2+1\right)}=\frac{\left(k+1\right)^2}{k^2+1}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => đpcm

Câu 1:

a, \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a^n}{c^n}=\frac{b^n}{d^n}=\frac{a^n+b^n}{c^n+d^n}=\frac{a^n-b^n}{c^n-d^n}\)

b,Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}\cdot\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\cdot\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{ab}{cd}\)

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d}=\frac{b}{d}\cdot\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{ac}{cd}=\frac{b^2}{d^2}\)

\(\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\left(1\right)\)

Ta lại có: \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}\cdot\frac{a+b}{c+d}\Rightarrow\frac{ab}{cd}=\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\left(\frac{a+b}{c+d}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\)

Câu 2:

\(\frac{a1}{a2}=\frac{a2}{a3}=....=\frac{a2017}{a2018}=\frac{a1+a2+...+a2017}{a2+a3+....+a2018}\)

\(\Rightarrow\frac{a1}{a2}=\frac{a1+a2+...+a2017}{a2+a3+...+a2018}\left(1\right)\)

\(\frac{a2}{a3}=\frac{a1+a2+...+a2017}{a2+a3+...+a2018}\left(2\right)\)

..............

\(\frac{a2017}{a2018}=\frac{a1+a2+...+a2017}{a2+a3+...+a2018}\left(2017\right)\)

Nhân các vế (1),(2)....(2017) ta được:

\(\frac{a1}{a2}\cdot\frac{a2}{a3}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{a2017}{a2018}=\frac{a1}{a2018}=\left(\frac{a1+a2+...+a2017}{a2+a3+...+a2018}\right)^{2017}\)

Vậy...

Câu 3:

\(x_2^2=x_1x_3\Rightarrow\frac{x1}{x2}=\frac{x2}{x3}\)

\(x_3^2=x_2x_4\Rightarrow\frac{x2}{x3}=\frac{x3}{x4}\)

\(x_4^2=x_3x_5\Rightarrow\frac{x3}{x4}=\frac{x4}{x5}\)

\(x_5^2=x_4x_6\Rightarrow\frac{x4}{x5}=\frac{x5}{x6}\)

Đến đây thfi làm giống câu 2

cho x₁, x₂ , x₃ là 3 số thực khác 0 thỏa mãn x₁ + x₂ + x₃ = a ; x₁x₂ + x₂x₃ + x₁x₃ = 0 ; x₁x₂x₃ = b

CMR: a/b < 0

Xem lại đề ==

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}\) =\(\frac{a+b+c+d}{b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+c}\)

Vì a+b+c+d khác 0

=> b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c

=>a=b=c=d

Khi đó:

a + b = c+d

b+c= (a+d)

c+d=a+b

d+a=b+c

=>\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{b+c}{a+d}=\frac{c+d}{a+b}=\frac{d+a}{b+c}=1\)

mk có chút nhầm lẫn các đấu = phải là +