Câu 1:

Hệ điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+3>x^2+mx+1\\x^2+mx+1>0\end{matrix}\right.\) \(\forall x\in R\)

Xét BPT đầu tiên:

\(\Leftrightarrow x^2-mx+2>0\) \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-8< 0\Rightarrow-2\sqrt{2}< m< 2\sqrt{2}\)

Xét BPT thứ 2:

\(x^2+mx+1>0\)

\(\Leftrightarrow\Delta=m^2-4< 0\Rightarrow-2< m< 2\)

Kết hợp lại ta được \(-2< m< 2\)

Câu 2:

\(\left|x+2+\left(y-3\right)i\right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=8\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích z là các điểm \(M\left(x;y\right)\) nằm trên đường tròn (C) tâm \(I\left(-2;3\right)\) bán kính \(R=2\sqrt{2}\)

Gọi \(A\left(-1;-6\right);B\left(7;2\right)\) và \(C\left(3;-2\right)\) là trung điểm AB

\(\Rightarrow P=\left|z+1+6i\right|+\left|z-7-2i\right|=MA+MB\)

Gọi d là đường thẳng qua C và I, cắt đường tròn (C) tại D trong đó I nằm giữa C và D

\(\Rightarrow P_{max}\) khi \(M\equiv D\)

\(\overrightarrow{CI}=\left(-5;5\right)\Rightarrow\) đường thẳng CI nhận \(\overrightarrow{n_{CI}}=\left(1;1\right)\) là 1 vtpt

\(\Rightarrow\)Phương trình CI: \(x+y-1=0\)

Tọa độ D là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+2\right)^2+\left(y-3\right)^2=8\\x+y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(l\right)\\x=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y=1-x=5\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-4\\y=5\end{matrix}\right.\)

Theo mình:

để hàm số đồng biến, đk cần là y'=0.

a>0 và \(\Delta'< 0\)

nghịch biến thì a<0 

vì denta<0 thì hầm số cùng dấu với a

mình giải được câu a với b

câu c có hai cực trị thì a\(\ne\)0, y'=0, denta>0 (để hàm số có hai nghiệm pb) 

câu d dùng viet

câu e mình chưa chắc lắm ^^

\(log_xy=log_yx=\frac{1}{log_xy}\Rightarrow\left(log_xy\right)^2=1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}log_xy=1\\log_xy=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x=\frac{1}{y}\end{matrix}\right.\)

Do \(log_x\left(x-y\right)\) tồn tại \(\Rightarrow x-y\ne0\Rightarrow x\ne y\Rightarrow x=\frac{1}{y}\)

\(log_x\left(x-y\right)=log_y\left(x+1\right)\Leftrightarrow log_x\left(x-\frac{1}{x}\right)=-log_x\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow log_x\left[\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x+1\right)\right]=0\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x+1\right)=x\Leftrightarrow x^3+x^2-2x-1=0\)

Pt này nghiệm xấu, đề bài có vấn đề

Câu 1:

Để dễ nhìn hơn, ta đặt \(log_2m=a\) phương trình trở thành:

\(3^{3a}-3^{-3a}+3^{a^2+2}-3^{-a^2-2}=0\)

\(\Leftrightarrow3^{3a}-3^{-3a}=3^{-a^2-2}-3^{-\left(-a^2-2\right)}\) (1)

Xét hàm \(f\left(t\right)=3^t-3^{-t}\Rightarrow f'\left(t\right)=3^t.ln3+3^{-t}.ln3>0\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow\left(1\right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(3a=-a^2-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+3a+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-1\\a=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}log_2m=-1\\log_2m=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{1}{2}\\m=\frac{1}{4}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow T=\frac{1}{8}\)

Câu 2:

\(x_M=1\Rightarrow y_M=-3m^2+2m+6\)

\(y'=-3x^2+4\left(m+1\right)x-3m^2+3\)

\(\Rightarrow y'\left(1\right)=-3m^2+4m+4\)

Phương trình tiếp tuyến tại M:

\(y=\left(-3m^2+4m+4\right)\left(x-1\right)-3m^2+2m+6\)

\(\Leftrightarrow y=\left(-3m^2+4m+4\right)x-2m+2\)

Để tiếp tuyến song song với d: \(\left\{{}\begin{matrix}-3m^2+4m+4=-3\\-2m+2\ne4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m^2-4m-7=0\\m\ne-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\frac{7}{3}\Rightarrow\) có đúng 1 giá trị m thỏa mãn

Câu 3:

Áp dụng điều kiện của nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(1^2+\left(m-1\right)^2\ge\left(2m-1\right)^2\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+2\ge4m^2-4m+1\)

\(\Leftrightarrow3m^2-2m-1\le0\)

\(\Rightarrow\frac{-1}{3}\le m\le1\Rightarrow m=\left\{0;1\right\}\) có 2 giá trị nguyên

Câu 4:

Sao lại là \(\left|1z-2-i\right|\), sự xuất hiện số 1 bất thường làm mình nghĩ bạn gõ nhầm chỗ nào đó, nhưng thực ra chỉ cần phương pháp giải, còn số liệu thì chỉ việc thay đổi thôi

Với dữ kiện để bài, ta thấy ngay tập hợp \(z\) là các điểm \(M\left(x;y\right)\) nằm trên đường tròn \(\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=9\)

Gọi \(A\left(4;1\right)\) và \(B\left(-5;-8\right)\)

\(\Rightarrow P=\left|z-4-i\right|+\left|z+5+8i\right|=MA+MB\)

Bài toán quy về tìm điểm M thuộc đường tròn cố định và 2 điểm A, B cố định sao cho \(MA+MB\) đạt max

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow H\left(-\frac{1}{2};-\frac{7}{2}\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:

\(P=MA+MB\le\sqrt{2\left(MA^2+MB^2\right)}\)

Theo công thức trung tuyến trong tam giác MAB ta có:

\(MA^2+MB^2=2MH^2+\frac{AB^2}{2}\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{2\left(MH^2+\frac{AB^2}{2}\right)}\) (1)

AB cố định \(\Rightarrow P_{max}\) khi \(MH_{max}\Rightarrow M\) là giao điểm nằm khác phía H so với I của đường thẳng IH và đường tròn (C)

\(\overrightarrow{BA}=\left(9;9\right)=9\left(1;1\right)\Rightarrow\)phương trình đường thẳng IH:

\(x+\frac{1}{2}+y+\frac{7}{2}=0\Leftrightarrow x+y+4=0\)

Tọa độ M: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=9\\x+y+4=0\end{matrix}\right.\)

Số xấu, nghĩa là linh cảm đúng, pt ban đầu bạn viết nhầm :(

Đến đây chỉ việc giải ra tọa độ M, sau đó thay vào công thức (1) là xong

ĐKXĐ: \(x\ne y\)

\(log_xy=\frac{1}{log_xy}\Leftrightarrow log_x^2y=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}log_xy=1\\log_xy=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\left(l\right)\\x=\frac{1}{y}\end{matrix}\right.\)

\(log_x\left(x-\frac{1}{x}\right)=log_{x^{-1}}\left(x+\frac{1}{x}\right)\Leftrightarrow log_x\left(x-\frac{1}{x}\right)=-log_x\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

\(\Leftrightarrow log_x\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=0\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{x}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x^2-\frac{1}{x^2}=1\Leftrightarrow x^4-x^2-1=0\Rightarrow x^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow y^2=\frac{1}{x^2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow x^2+xy+y^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}+1\)

Chọn C