Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau:

(b+c+d)/a = (c+d+a)/b = (d+a+b)/c = (a+b+c)/d = K

=> K = {(b+c+d)+ (c+d+a)+(d+a+b)+(a+b+c)}/(a+b+c+d)

=> K=3.(a+b+c+d)/(a+b+c+d)

=> K=3

3

Vì \(b\ne d;b+d\ne0\) nên áp dụng tính chất cảu dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\)

Vậy \(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!!!

Ta có:Nếu

\(\dfrac{a+c}{b+d}=\dfrac{a-c}{b-d}\)

thì \((a+c)(b-d)=(a-c)(b+d)\)

\(a(b-d)+c(b-d)=a(b+d)-c(b+d)\)

\(ab-ad+bc-cd=ab+ad-bc+cd\)

\(=\)\(ab-ab\)\(-ad+ad\)\(+bc-bc\)\(-cd+cd\)

\(=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(b-d\right)\)\(=\left(a-c\right)\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+c}{b+d}\)\(=\dfrac{a-c}{b-d}\)

A B C D M Hình chỉ mang tính minh họa

a) Xét \(\Delta\)MAB và \(\Delta\)MDC có:

MA = MD (giả thiết)

\(\widehat{BMA}\) = \(\widehat{CMD}\) (đối đỉnh)

MB = MC (suy từ gt)

=> \(\Delta\)MAB = \(\Delta\)MDC (c.g.c)

b) Vì \(\Delta\)MAB = \(\Delta\)MDC (câu a)

nên \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{DCM}\) (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AB // CD

c) Sửa đề: BC = 2AM

Bài làm:

Vì \(\Delta\)MAB = \(\Delta\)MDC (chứng minh câu a)

nên AB = DC (2 cạnh tương ứng)

Do AB // CD

nên \(\widehat{BAC}\) + \(\widehat{DCA}\) = 180^o (trong cùng phía)

=> 90^o + \(\widehat{DCA}\) = 180^o

=> \(\widehat{DCA}\) = 180^o - 90^o

= 90^o

Do đó \(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{DCA}\)

Xét \(\Delta\)BAC và \(\Delta\)DCA có:

BA = DC (chứng minh trên)

\(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{DCA}\) (chứng minh trên)

AC chung

=> \(\Delta\)BAC = \(\Delta\)DCA (c.g.c)

=> BC = DA (2 cạnh tương ứng) (1)

Ta có: 2AM = DA (2)

Thay (1) vào (2) ta được: BC = 2AM

d) Ta có: \(\widehat{ABM}\) = \(\widehat{DCM}\) (câu b) hay \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{DCB}\)

Xét \(\Delta\)ABD và \(\Delta\)ACD có:

AB = AC (đã có)

\(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{DCB}\) (chứng minh trên)

AD chung

=> \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)ACD (c.g.c)

=> \(\widehat{DBA}\) = \(\widehat{DCA}\) = 90^o( 2 góc tương ứng)

Do đó AB \(\perp\) BD.

a: 2x+3>=1

=>2x>=-2

hay x>=-1

b: -3x+4<=5

=>-3x<=1

hay x>=-1/3

c: 3x+5<4-2x

=>5x<-1

hay x<-1/5

d: 1/2x+7>-5/2

=>1/2x>-19/2

hay x>-19

\(\frac{5}{x}+\frac{y}{4}=\frac{1}{8}\Rightarrow\frac{5}{x}=\frac{1}{8}-\frac{y}{4}\Rightarrow\frac{5}{x}=\frac{1}{8}-\frac{2y}{8}=\frac{1-2y}{8}\)

\(\Rightarrow x\left(1-2y\right)=5.8=40\)

Vì \(1-2y\) là số lẻ và là ước lẻ của \(40\)

\(\Rightarrow1-2y=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

\(\Rightarrow\left[\begin{matrix}1-2y=-1\Rightarrow y=1\Rightarrow x=-40\\1-2y=1\Rightarrow y=0\Rightarrow x=40\\1-2y=-5\Rightarrow y=3\Rightarrow x=-8\\1-2y=5\Rightarrow y=-2;x=8\end{matrix}\right.\)

Vậy có 4 cặp các số nguyên \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn

\(VT=\dfrac{a+c}{a+b}+\dfrac{b+d}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+d}+\dfrac{d+b}{d+a}\)

\(=\left(a+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{d+a}\right)\)

Ap dụng \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y} \left(\forall x,y>0\right)\)

Ta có: \(VT\ge\left(a+c\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}+\left(b+d\right).\dfrac{4}{a+b+c+d}\)

\(=\dfrac{4\left(a+b+c+d\right)}{\left(a+b+c+d\right)}=4\left(ĐPCM\right)\)