Ta có: \(VT-VP=\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)(đúng với \(xy\ge1\))

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1

Hoặc bạn cũng có thể làm là:

Do: \(25\equiv6\left(mo\text{d}19\right)\Rightarrow25^n\equiv6^n\left(mo\text{d}19\right)\)

\(\Rightarrow7.25^n+12.6^n\equiv7.6^n+12.6^n\left(mo\text{d}19\right)\)

\(\Rightarrow7.5^{2n}+12.6^n\equiv19.6^n\left(mo\text{d}19\right)\)

Mà: \(19.6^n\equiv0\left(mo\text{d}19\right)\)

\(\Rightarrow7.5^{2n}+12.6^n\equiv0\left(mo\text{d}19\right)\)

Hay 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ chia hết cho 19.

(_Bài này mình làm theo phép toán đồng dư bạn có thể tham khảo thêm hoặc nếu đã học 'mod' thì cũng có thể áp dụng_)

b) 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ 

= 7.25ⁿ + 12.6ⁿ 

= 7.25ⁿ - 7.6ⁿ + 19.6ⁿ 

= 7(25ⁿ - 6ⁿ) + 19.6ⁿ 

= 7(25 - 6)[X] + 19.6ⁿ

= 7.19.[X] + 19.6ⁿ 

= 19 .(7[X] + 6ⁿ)chia hết cho 19 

Hàng 1: (17+8)=5x5

Hàng 2: (13+7)=5x4

Hàng 3: (6+12)=6x3

Hàng 4: (10x6)=4x15

=> ?=15

Xin lỗi!

Hàng 4: (10+6)=4x4

=> ?=4

Bài 3:

Hình tam giác t1: Polygon A, B, C Đoạn thẳng c: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [B, K] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [C, L] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [K, L] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [A, H] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [A, M] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [M, N] Đoạn thẳng e: Đoạn thẳng [J, I] A = (0.38, 5.72) A = (0.38, 5.72) A = (0.38, 5.72) B = (-1.58, 0.68) B = (-1.58, 0.68) B = (-1.58, 0.68) C = (9.08, 0.5) C = (9.08, 0.5) C = (9.08, 0.5) Điểm G: Giao điểm đường của f, g Điểm G: Giao điểm đường của f, g Điểm G: Giao điểm đường của f, g Điểm K: Giao điểm đường của h, i Điểm K: Giao điểm đường của h, i Điểm K: Giao điểm đường của h, i Điểm H: Giao điểm đường của h, j Điểm H: Giao điểm đường của h, j Điểm H: Giao điểm đường của h, j Điểm L: Giao điểm đường của h, k Điểm L: Giao điểm đường của h, k Điểm L: Giao điểm đường của h, k Điểm M: Trung điểm của a Điểm M: Trung điểm của a Điểm M: Trung điểm của a Điểm N: Giao điểm đường của s, n Điểm N: Giao điểm đường của s, n Điểm N: Giao điểm đường của s, n Điểm J: Trung điểm của H, G Điểm J: Trung điểm của H, G Điểm J: Trung điểm của H, G Điểm I: Giao điểm đường của d, q Điểm I: Giao điểm đường của d, q Điểm I: Giao điểm đường của d, q

Do chỉ sử dụng kiến thức chương I, nên cô giải như sau:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ MN // BK.

Lấy I, J là trung điểm của AG và HG.

Do BK và CL cùng vuông góc với KL nên BK // CL. Vậy KBCL là hình thang vuông.

Xét hình thang vuông KBCL là M là trung điểm BC, MN // BK nên MN là đường trung bình hình thang.

Suy ra 2MN = BK + CL

Xét tam giác AHG có I, J là các trung điểm của các cạnh AG và HG nên IJ là đường trung bình hay AH = 2IJ và \(IJ\perp KL\).

Xét tam giác ABC có G là trọng tâm nên GA = 2GM, vậy thì GI = GM.

Vậy thì  \(\Delta GMN=\Delta GIJ\) (Cạnh huyền - góc nhọn) 

Suy ra \(MN=IJ\Rightarrow2MN=2IJ\Rightarrow BK+CL=AH.\)

Bài 2:

A' A C I J B B'

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và A'B'. Khi đó ta đã có I cố định.

Do d //d' nên AA'B'B là hình thang. Vậy thì IJ là đường trung bình hay \(IJ=\frac{AA'+BB'}{2}=\frac{AC+CB}{2}=\frac{AB}{2}\)

Ta thấy do AB không đổi nên độ dài AB là số không đổi, vậy AB/2 cũng không đổi.

Ta thấy J nằm trên tia Ix // d// d' mà độ dài đoạn IJ không đổi nên J là điểm cố định.

Tóm lại trung điểm của A'B' là điểm cố định thỏa mãn nằm trên tia Ix // d // d' và IJ = AB/2. 

a,  x²+2xy+y²+2x+2y-15

<=> (x+y )²+2(x+y)+1-16

Đặt x+y =a

<=> a²+2a+1-4²

<=> (a+1)²-4²

<=> (a+5)(a-3) =>( x+y+5)(x+y-3)

b, x²-4xy+4y²-2x-4y-35

<=> (x-2y)²-2(x-2y)+1-36

Đặt (x-2y)  =b 

=> b²-2b+1-6²

<=> (b-1)²-6²

<=> (b-7)(b+5)=> (x-2y-7)(x-2y+5)

c, 

a,A= x^2+2xy+y^2+2x+2y-15

= (x+y)^2+(x+y)-15

Đặt x+y=a, ta có:

A=a^2+2a-15

  =a^2+2a+1-16

  =(a+1)^2-4^2

  =(a+1+4)(a+1-4)

  =(a+5)(a-3)

Thay a=x+y, ta có: A=(x+y+5)(x+y-3).

Thật sự á, cái đề làm t đau đầu từ sáng giờ, nhờ cmt của bạn Arima Kousei t mới làm đc!

Đề đúng là tìm min của \(M=\frac{3a^4+3b^4+c^3+2}{\left(a+b+c\right)^3}\)

Áp dụng BĐT Cô - si cho 4 số không âm, ta được:

\(3a^4+1=a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{a^{12}}=4a^3\)

Tương tự ta có: \(3b^4+1\ge4b^3\)

\(\Rightarrow M=\frac{3a^4+3b^4+c^3+2}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{4a^3+4b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\)

Ta có BĐT phụ \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)(*)

Thật vậy (*)\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{4a^3+4b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b\right)^3+c^3}{\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{4\left(a+b+c\right)^3}=\frac{1}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1; c = 2

P/S: Sai nữa thì chịu ,mình đã cố gắng hết sức

Đề sai phải là : (a+b+c)^3 

Vì \(0\le x,y,z\le1\)

\(\Rightarrow xy\le y\)

\(x^2\le1\)

\(\Rightarrow x^2+xy+xz\le xz+y+1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)\le1+y+xz\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{1}{x+y+z}\)

CMTT : các vế khác cug vậy

cộng các vế vào là đc

\(0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow xy-x-y+1\ge0\)

\(\Rightarrow xy+1\ge x+y\)

Tương tự ta chứng minh được \(xz+1\ge x+z\)và \(yz+1\ge y+z\)

\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(x\le1\))

\(\Rightarrow\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)(\(y\le1\))

\(\Rightarrow\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{z}{x+y+z}\le\frac{1}{x+y+z}\)\(z\le1\))

\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)(đpcm)

Ta có x³ + y³

= (x + y)(x² - xy + y²)

= (x + y)(x² + 2xy + y²) - 3xy(x  + y)

= (x + y)³ - 6xy 

= 2³ - 6xy

= 8 - 6xy

Lại có x + y = 2

=> (x + y)² = 4

=> x² + y² + 2xy = 4

=> 2xy = -6

=> xy = -3

Khi đó x³ - y³ = 8 + 6.3 = 26

b) a + b = 7

=> a = 7 - b

Khi đó ab = 12

<=> (7 - b).b = 12

=> 7b - b² = 12

=> 7b - b² - 12 = 0

=> -(b² - 7b + 12) = 0

=> b² - 4b - 3b + 12 = 0

=> b(b - 4) - 3(b - 4) = 0

=> (b - 3)(b - 4) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}b=3\\b=4\end{cases}}\)

Khi b = 3 => a = 4

Khi b = 4 => a = 3

+) b = 3 ; a = 4 => B = (3 - 4)²⁰⁰⁹ = -1

+) b = 4 ; a = 3 => B = (4 - 3)²⁰⁰⁹ = 1

c) Ta có a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

                         = (a - b)(a² - 2ab + b²) + 3ab(a - b)

                         = (a - b)³ + 3ab(a - b)

                          = 27 + 9ab

Lại có \(\hept{\begin{cases}a+b=9\\a-b=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=3\end{cases}}\)

Khi đó C = 27 + 9.6.3 = 27 + 162 = 189

a) x(y - x)³ + y(x - y)² + xy(x - y)

= x(y - x).(y - x)² +  y(x - y)² + xy(x - y)

= x(y - x)(x - y)² + y(x - y)² + xy(x - y)

= (x - y)[x(y - x)(x - y) + y(x - y) + xy]

= (x - y)[x(y - x)(x - y) + y(x - y) + xy]

b) 3a²x - 3a²y + abx - aby

= 3a²(x - y) + ab(x - y)

= a(x - y)(3a + b)

a) x( y - x )³ - y( x - y )² + xy( x - y )

= -x( x - y )³ - y( x - y )² + xy( x - y )

= ( x - y )[ -x( x - y )² - y( x - y ) + xy ]

= ( x - y )[ -x( x² - 2xy + y² ) - yx + y² + xy ]

= ( x - y )( -x³ + 2x²y - xy² - yx + y² + xy )

= ( x - y )( -x³ + 2x²y - xy² + y² )

b) 3a²x - 3a²y + abx - aby

= 3a²( x - y ) + ab( x - y )

= ( x - y )( 3a² + ab )

= ( x - y )a( 3a + b )

Áp dụng cách đánh giá quen thuộc 

\(3\left(\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\right)^2\)

Hay \(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)

Ta cần chỉ ra được \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Ta đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Cần chú ý đến \(a^2+b^2+c^2\). Ta được

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Ta cần chứng minh được

\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Dễ thấy \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Do đó \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 

\(\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Do đó ta được \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Bài toán được chứng minh :3