Mình vẽ tạm trên Paint vì không biết vẽ nửa đường tròn trên đây nha '-'

Bài làm

a) Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến MN và Ax

=> OM là phân giác 

=> \(\widehat{O_2}=\widehat{O_3}\Rightarrow2\widehat{O_2}=\widehat{HOA}\)   

Vì N là giao điểm của hai tiếp tuyến MN và By

=> ON là phân giác

=> \(\widehat{O_1}=\widehat{O_4}\Rightarrow2\widehat{O_1}=\widehat{HOB}\)

Ta có: \(\widehat{HOA}+\widehat{HOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

hay \(2\widehat{O_1}+2\widehat{O_2}=180^0\)

=> \(2\left(\widehat{O_1}+\widehat{O_2}\right)=180^0\)

=> \(\widehat{MON}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

Vậy \(\widehat{MON}=90^0\)

b)  Vì M là giao điểm của hai tiếp tuyến MN và Ax

=> AM = MH ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Vì N là giao điểm của hai tiếp tuyến MN và By

=> NB = NH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có: MN = MH + NH

hay MN = AM + BN (đpcm)

c) Xét tam giác MON vuông tại O có:

OH là đường cao

Theo quan hệ giữa cạnh và đường cao

=> OH² = MH . NH

hay R² = MA . BN

Vậy AM . BN = R²

Đề bạn rối sao ý, mình chỉnh như này không biết có đúng không nhưng mình sẽ làm theo đề mình đưa ra:

Cho (O) và điểm A ∉ (O) sao cho OA = 2R. Vẽ tiếp tuyến AB với (O), BH là đường cao của △ABO, BH cắt (O) tại C.

*Hình:

O A B H C d K E G I

Bài làm

a) Xét đường tròn tâm O có:

CB là dây cung

OA vuông góc với CB tại H

=> H là trung điểm CB (Tính chất đường cao với dây cung)

Xét tam giác ABC có:

AH là đường cao

AH là trung tuyến (Do H là trung điểm CB)

=> Tam giác ABC cân tại A

=> AB  = AC

Xét tam giác OCA và tam giác OBA có:

AC = AB (Chứng minh trên)

OA chung

OC = OB (bằng R)

=> Tam giác OCA = tam giác OBA (c.c.c)

=> \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}\)

Mà \(\widehat{ABO}=90^0\)

=> \(\widehat{ACO}=90^0\)

Và C thuộc (O)

=> AC là tiếp tuyến của (O)

b) Kẻ KE vuông góc với OA cắt (O) tại E.

Vì A là giao điểm của hai đường tiếp tuyến AB và AC

=> AO là phân giác của góc AOB

Xét tam giác KAE có:

AO là phân giác của góc AOB

AO vuông góc với KE

=> Tam giác KAE cân tại A

=> AK = AE (1)

=> AO là trung tuyến

Gọi giao điểm của AO và KE là G

=> KG = GE

Xét tam giác KGO và tam giác EGA có:

\(\widehat{OKG}=\widehat{GEA}\)(Là hai góc so le trong do OK // AB vì cùng vuông góc với OB.)

KG = GE (Chứng minh trên)

\(\widehat{KGO}=\widehat{EGA}\)(đối)

=> Tam giác KGO = tam giác EGA (g.c.g)

=> OK = AE (2)

Từ (1) và (2) => KA = KO

Từ từ để mình nghĩ nốt c với d

Câu 1 : 

a, \(A=\left(\frac{1}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+1}\right).\frac{1}{\sqrt{a}}\)

\(=\left(\frac{\sqrt{a}+1}{a-1}+\frac{\sqrt{a}-1}{a-1}\right).\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{a-1}.\frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{2}{a-1}\)

b, Ta có :A = 1 hay  \(\frac{2}{a-1}=1\Leftrightarrow a-1=2\Leftrightarrow a=3\)( tmđkxđ )

Câu 3 : 

\(\hept{\begin{cases}2x-3y=1\left(1\right)\\3x+y=7\left(2\right)\end{cases}}\)Ta có : \(y=7-3x\)(k)

Thay vào phương trình 1 ta được : 

\(2x-3\left(7-3x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2x-21+9x=1\Leftrightarrow11x=22\Leftrightarrow x=2\)

Thay vào (k) ta được : \(y=7-3.2=7-6=1\)

Vậy \(\left\{x;y\right\}=\left\{2;1\right\}\)

b) Chắc đề bài bạn gõ sai, phải là \(AM.BN=\frac{AB^2}{4}\).

Gọi giao giữa tiếp tuyến \(MN\)và \(\left(O\right)\)là \(H\).

Tam giác \(MON\)vuông tại \(O\), đường cao \(OH\)nên có: 

\(MH.NH=OH^2\)

mà \(MA=MH,NB=NH\)(tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau) , \(AB=2R\)suy ra

\(AM.BN=MH.NH=OH^2=R^2=\frac{AB^2}{4}\)