1. The accident looked seriously at first but nobody was injured. ---> serious

2. All the students are looking forward to spending their free time to enjoy their Tet holiday ---> enjoying

3. She left her job soon to devote more time into her family. ---> to

4. We won't mind your being late. Beside, it's hardly your mistake. ---> Besides

5. Congratulations! You've gained the first prize in the competitions! ---> won

6. Her well-known film, that won several awards, was about the life of Lenin. ---> which

7. Mr. Tam, who has a lot teaching skills at junior level, will be joining our school in August. ---> a lot of

8. You've seen her new car, haven't you? What does it ? ---> is

\(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}=x^2+2\)

Xét vế trái

\(\left(\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x+1}\right)^2\le2.\left(x^2-x+1+x+1\right)=2\left(x^2+2\right)\)

mà \(2\le x^2+2\Rightarrow VT^2\le\left(x^2+2\right)^2=VP^2\)

dâu bằng xảy ra khi x=0

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x² + 2x -m² + 1 = 0 

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì pt này phải có hai nghiêm phân biệt x_D và x_E và x_D + x_E = 0

Áp dụng định lý Vi-et thì x_D +x_E = -2 \(\Rightarrow\)m \(\in\varnothing\)

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\frac{16a}{b^3+16}+\frac{16b}{c^3+16}+\frac{16c}{a^3+16}\ge\frac{8}{3}\)

Ta có: \(\frac{16a}{b^3+16}=a-\frac{ab^3}{b^3+16}=a-\frac{ab^3}{b^3+8+8}\ge a-\frac{ab^3}{3\sqrt[3]{b^3.8.8}}=a-\frac{ab^2}{12}\)

Tương tự rồi cộng từng vế 3 bất đẳng thức đó, ta được:  \(\frac{16a}{b^3+16}+\frac{16b}{c^3+16}+\frac{16c}{a^3+16}\ge3-\frac{ab^2+bc^2+ca^2}{12}\)

Ta cần chứng minh \(ab^2+bc^2+ca^2\le4\)

Thật vậy: Giả sử \(b=mid\left\{a,b,c\right\}\)thì \(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)

\(\Leftrightarrow ab^2+ca^2\le a^2b+abc\Leftrightarrow ab^2+bc^2+ca^2\le a^2b+bc^2+abc\)\(\le a^2b+bc^2+2abc=b\left(a+c\right)^2=\frac{1}{2}.2b.\left(a+c\right)\left(a+c\right)\le\frac{1}{2}.\frac{8\left(a+b+c\right)^3}{27}=4\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1; c = 2 và các hoán vị

\(ĐK:x,y,z\ne0\)

Đặt \(6\left(x-\frac{1}{y}\right)=3\left(y-\frac{1}{z}\right)=2\left(z-\frac{1}{x}\right)=xyz-\frac{1}{xyz}=a\)

\(\Rightarrow x-\frac{1}{y}=\frac{a}{6};y-\frac{1}{z}=\frac{a}{3};z-\frac{1}{x}=\frac{a}{2}\)\(\Rightarrow\frac{a^3}{36}=xyz-\frac{1}{xyz}-x+\frac{1}{y}-y+\frac{1}{z}-z+\frac{1}{x}=a-\frac{a}{6}-\frac{a}{3}-\frac{a}{2}=0\)suy ra a = 0

Nếu xyz = 1 thì x = y = z = 1 (thỏa mãn)

Nếu xyz = -1 thì x = y = z = -1 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của hệ phương trình (x; y; z) là: (1; 1; 1),(-1; -1; -1).

Nhìn lozic qué bạn ey!!!

Đt qua M(3;2) có dạng y=ax+2-3a 

khi x=1 thì y=2-2a. Để y nguyên dương thì có vô số giá trị a

KL: có vô số Đt thỏa mãn

Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Khi đó ta được: \(ab+bc+ca\ge ab;\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\frac{1}{b^2};\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{1}{a^2}\)

Do đó ta cần chứng minh \(ab\left(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge4\)hay \(\frac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge2\)*đúng theo bất đẳng thức Cô - si*

Đẳng thức xảy ra khi \(a^2+b^2=3ab,c=0\)

Giả sử c = min(a,b,c), khi đó ab+bc+ca>=ab; 1/(b-c)^2>=1/b^2; 1/(c-a)^2>=1/a^2. Ta cần chứng minh: ab(1/(a-b)^2 +1/b^2 + 1/a^2 )>=4. Bằng cách biến đổi tương đương ta được: [ab/(a-b)^2 +a/b + b/a]>=4 <=> ab/(a-b)^2 +a/b+b/a-4>=0 <=>ab/(a-b)^2 + (a^2+b^2-4ab)/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +[(a-b)^2-2ab]/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +(a-b)^2/ab - 2 >=0 (1).

Đặt k = ab/(a-b)^2>=0 => (a-b)^2 = 1/k >0. 

Áp dụng BĐT Cosi cho k và 1/k => k+1/k >=2 căn(k.1/k)=2 => k+1/k-2>=0 => (1) đã được chứng minh.

Vậy (ab+bc+ca)[1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2]>=4. 

Dấu bằng xảy ra khi c = 0 và k=1/k => k^2=1 => a^2b^2=(a-b)^4 => (a-b)^2=ab => a^2+b^2-2ab=ab => a^2-3ab+b^2 = 0. Xem đây là PT bậc hai theo a với hệ số theo b. Lập Delta = 9b^2-4b^2 = 5b^2 => a = (3b+bcăn 5)/2 hoặc a = (3b-bcăn 5)/2.

Mik sửa đề xíu ạ:

a) \(\left(\frac{a+b}{a-b}+1\right)\left(\frac{b+c}{b-c}+1\right)\left(\frac{c+a}{c-a}+1\right)\)= \(\left(\frac{a+b}{a-b}-1\right)\left(\frac{b+c}{b-c}-1\right)\left(\frac{c+a}{c-a}-1\right)\)

Đặt \(\frac{a+b}{a-b}=x;\frac{b+c}{b-c}=y;\frac{c+a}{c-a}=z\)thì \(xy+yz+zx=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c-a\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)+\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)và ta cần chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge2\)

Thật vậy, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\forall x,y,z\Rightarrow x^2+y^2+x^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}=0\)

Chú ý: Bài này có thể biến thành bài toán sau:

Cho a,b,c là các số thực khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng: \(\frac{a^2+b^2}{\left(a-b\right)^2}+\frac{b^2+c^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{c^2+a^2}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{5}{2}\)