Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)thì bài toán thành

\(x+y+z=2\) chứng minh rằng

\(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{y^3}{\left(2-y\right)^2}+\frac{z^3}{\left(2-z\right)^2}\ge\frac{1}{2}\)

Trước hết ta chứng minh:

Ta có: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}+\frac{2-x}{8}+\frac{2-x}{8}\ge\frac{3x}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow VP\ge\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)

Ta có \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2b^2c^2\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq 1\)

BĐT cần chứng minh tương đương với \(\frac{\frac{1}{c^3}}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}+\frac{\frac{1}{b^3}}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}}+\frac{\frac{1}{a^3}}{\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Đặt \((\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})=(x,y,z)\). Bài toán trở thành: 

Cho \(x,y,z>0|x^2+y^2+z^2\geq 1\). CMR \(P=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Lời giải:

 Áp dụng BĐT Cauchy -Schwarz:

\(P=\frac{x^4}{xy^2+xz^2}+\frac{y^4}{yz^2+yx^2}+\frac{z^4}{zx^2+zy^2}\geq \frac{(x^2+y^2+^2)^2}{x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)}\) (1)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\geq y\geq z\Rightarrow x^2\geq y^2\geq z^2\) 

Và \(y+z\leq z+x\leq x+y\). Khi đó, áp dụng BĐT Chebyshev: 

\(3[x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)]\leq (x^2+y^2+z^2)(y+z+x+z+x+y)\)

\(\Leftrightarrow x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)\leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)(x+y+z)}{3}\)

Theo hệ quả của BĐT Am-Gm thì: \((x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\Rightarrow x+y+z\leq \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}\)

\(\Rightarrow x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)\leq \frac{2(x^2+y^2+z^2)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{3}\) (2)

Từ (1),(2) suy ra \(P\geq \frac{3(x^2+y^2+z^2)^2}{2(x^2+y^2+z^2)\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}=\frac{\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}}{2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Ta có đpcm

Dáu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Đặt \(x=\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}\)

Khi đó giả thiết được viết lại là \(x^2+y^2+z^2\ge1\)và ta cần chứng minh \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)(*)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức, ta được:

\(VT_{\left(^∗\right)}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(z^2+x^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\)\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(z^2+x^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\)

Đến đây ta đi chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(z^2+x^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)\(\ge\sqrt{3}\left[x\left(y^2+z^2\right)+y\left(z^2+x^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)\right]\)

Ta có: \(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\)\(\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\left(\frac{2x^2+y^2+z^2+y^2+z^2}{3}\right)^3}\)

\(=\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Tương tự ta có: \(y\left(z^2+x^2\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2\sqrt{3}}{9}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: 

\(\text{∑}_{cyc}\left[x\left(y^2+z^2\right)\right]\le\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\text{∑}_{cyc}\left[x\left(y^2+z^2\right)\right]\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)

Cuối cùng ta cần chứng minh được

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)(đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Bài văn thuyết minh về cây lúa nước: Lúa nước là cây trồng lâu đời nhất ở nước ta, có thân thảo, cao khoảng 1–1,5 mét, thân rỗng chia đốt, lá mỏng dài. Cây lúa được trồng trên ruộng ngập nước, thích hợp khí hậu nhiệt đới gó mùa. Chu kỳ sinh trưởng của lúa trải qua các giai đoạn: ngâm ủ giống, cấy mạ, chăm sóc bón phân, đuổi bọ rầy và thu hoạch khi hạt vàng ươm. Lúa nước cung cấp lương thực chính cho người Việt và nhiều nước châu Á, tạo ra hạt gạo thơm ngon để nấu cơm, làm bánh, bún phở. Ngoài ra, rơm rạ sau thu hoạch dùng làm thức ăn gia súc, làm nấm, đun nấu. Cây lúa còn in đậm trong đời sống văn hóa – từ câu ca dao, tục ngỺf tới lễ hội nông nghiệp – biểu tượng của nền văn minh lúa nước ngàn đời. Bài văn thuyết minh về cây sen: Sen là loài cây thủy sinh quen thuộc, sống ở ao hồ, đầm lầy. Cây có thân rễ nằm trong bùn, từ đó vươn lên những lá tròn, xanh mát với cuống dài; hoa sen có nhiều cánh xếp đều, sắc hồng hoặc trắng, tỏa hương dịu nhẹ. Sen nở rộ vào mùa hè và được coi là biểu tượng của sự thanh cao, thuần khiết “gần bùn mà chẳng hôi tanh mùi bùn”. Các bộ phận của sen đều có giá trị: hạt sen dùng nấu chè, làm mứt; củ sen chế biến món ăn; tim sen làm thuốc an thần; lá sen gói cốm. Trong nghệ thuật, sen xuất hiện trong thơ ca, hội họa, kiến trúc chùa chiền, thể hiện tinh thần tinh tế của người Việt. Bài văn thuyết minh về cây nhãn lồng Hưng Yên: Nhãn lồng là đặc sản nổi tiếng của Hưng Yên. Cây nhãn cao khoảng 5–6 mét, tán rộng, lá xanh thẩm. Quả nhãn lồng có vỏ mỏng nâu vàng, cùi dày, trắng trong và giòn ngọt, hạt nhỏ như hạt đậu. Nhãn được trồng trên đất phù sa ven sông Hồng với quy trình: chọn giống, trồng cây con, tỉa cành, bón phân, chăm sóc hoa quả. Mùa nhãn chín vào tháng 7, tháng 8 hằng năm, thu hoạch mang lại nguồn thu nhập lớn cho nông dân. Quả nhãn có giá trị dinh dưỡng cao, dùng ăn tươi hoặc sấy khô, làm long nhãn, thuốc bổ. Nhãn lồng Hưng Yên trở thành thương hiệu, góp phần quảng bá đất và người Phố Hiến, đồng thời thúc đẩy phát triển kinh tế địa phương.

Bài 1: 

ĐK: \(x,y\ge-2\)

Ta có: \(\sqrt{x+2}-y^3=\sqrt{y+2}-x^3\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+\frac{x-y}{\sqrt{x+2}+\sqrt{y+2}}=0\)

=> x-y=0=>x=y

Thay y=x vào B ta được:  B=x²+2x+10\(=\left(x+1\right)^2+9\ge9\forall x\ge-2\)

Dấu '=' xảy ra <=> x+1=0=>x=-1 (tmđk)

Vậy Min B =9 khi x=y=-1

10x100=

quá dễ 

dễ thì làm bài đi bạn

Xét tam giác \(ABC\)vuông tại \(A\): \(AB^2=HB.BC\Rightarrow HB=\frac{AB^2}{BC}\).

                                                          \(AC^2=HC.BC\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}\)

Suy ra \(\frac{HB}{HC}=\frac{AB^2}{AC^2}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2=\frac{9}{25}\)

Bài này dễ mà bn lớp 5 còn làm đc :) e xin lỗi tí chứ e hc bài này òi :)

Vì khúc gỗ trôi tự do với vận tốc dòng nưosc là 2 giờ 15 phút 

Ta có :

=>gọi x là v thật của cano như vậy ta có: (x#0) thì vận tốc cano lúc đi là sẽ là x+4va v sẽ là x - 4 

T/g canô là (x#0) 40 /(x#4)

T/g cano AB là: 10/(x#)

Ta có p.t:

40/(x+10) + 2,25 = 32,25 (km)

Chú ý đổi xong òi đó 2 giờ 15 phút 

Đ.s:....................

>3

1)

\(y=x-\sqrt{x-1991}=\left(\sqrt{x-1991}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7963}{4}\ge\frac{7963}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=\frac{7965}{4}\)

2)

\(T=\frac{2a^2+4ab+5b^2}{a^2+b^2}=\frac{\left(a+2b\right)^2}{a^2+b^2}+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi a=-2b

\(T=\frac{2a^2+4ab+5b^2}{a^2+b^2}=-\frac{\left(2a-b\right)^2}{a^2+b^2}+6\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi 2a=b

từ giả thiết \(\Rightarrow3xy=x+y+1\)

áp dụng bất đẳng thức Bunia ta có

\(3x^2+1\ge\frac{\left(3x+1\right)^2}{4}\Rightarrow\sqrt{3x^2+1}\ge\frac{\left(3x+1\right)}{2}\)

tương tự \(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{2}{3x+1}+\frac{2}{3y+1}\)

Mà \(\frac{2}{3x+1}+\frac{2}{3y+1}=\frac{6x+6y+4}{9xy+3x+3y+1}=\frac{6x+6y+4}{6x+6y+4}=1\)(Thế \(3xy=x+y+1\))

từ đây ta có dpcm

Ta có: \(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4xy\Rightarrow xy+x+y+1=4xy\Rightarrow3xy=x+y+1\)

Xét bất đẳng thức phụ \(3x^2+1\ge\frac{\left(3x+1\right)^2}{4}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow12x^2+4-9x^2-6x-1\ge0\Leftrightarrow3x^2-6x+3\ge0\Leftrightarrow3\left(x-1\right)^2\ge0\)*đúng*

Do đó \(\sqrt{3x^2+1}\ge\frac{3x+1}{2}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}\le\frac{2}{3x+1}\)(1)

Tương tự, ta có: \(\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{2}{3y+1}\)(2)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2), ta được: \(\frac{1}{\sqrt{3x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{2}{3x+1}+\frac{2}{3y+1}=\frac{6x+6y+4}{9xy+3x+3y+1}=\frac{6x+6y+4}{3\left(x+y+1\right)+3x+3y+1}=\frac{6x+6y+4}{6x+6y+4}=1\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1