Sửa đề: Cho tam giác vuông,.... nhé ! (hình minh họa)

A B C D E F

Đặt \(AB=a;AC=b;AD=c\). Kẻ \(DE\) vuông góc \(AB\), \(FD\) vuông góc \(AC\left(E\in AB;F\in AC\right)\)

Ta có: tứ giác \(AFDE\) là hình chữ nhật do \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}=90^o\), AD phân giác trong của \(\widehat{EAF}\) nên \(AFDE\)là hình vuông. Suy ra 

\(DE=DF=\frac{AD\sqrt{2}}{2}=\frac{c\sqrt{2}}{2}\). Ta có:

\(S_{DAB}+S_{DAC}=S_{ABC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}AB\cdot DE+\frac{1}{2}DF\cdot AC=\frac{1}{2}AC\cdot AB\)

\(\Leftrightarrow\frac{c\sqrt{2}}{2}a+\frac{c\sqrt{2}}{2}b=ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{2}}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) Hay \(\frac{\sqrt{2}}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\)

có cho vuông ko nhỉ

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c=x\\a+c=y\\a+b=z\end{cases}}\)với x,y,z dương và \(a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{x+z-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\)

Ta có \(\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{y}+\frac{y}{z}\right)-\frac{3}{2}\ge1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z

Với x=y=z thì a=b=c => tam giác ABC đều

Cách khác :

Chu vi tam giác bằng 1 suy ra \(a+b+c=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a=b+c\\1-b=c+a\\1-c=a+b\end{cases}}\)

Nên đẳng thức viết lại thành: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)\(=\frac{3}{2}\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel: 

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ca}+\frac{b^2}{bc+ab}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Vậy tam giác ABC đều.

\(\left(x-3\right)\left(x+7\right)-\left(x+5\right)\left(x-1\right)\)

\(=x^2+7x-3x-21-\left(x^2-x+5x-5\right)\)

\(=x^2+4x-21-x^2-4x+5\)

\(=-16\)

\(A=\left(2x-3\right)^2-\left(x-1\right)\left(x+5\right)+2\)

\(A=4x^2-12x+9-\left(x^2+5x-x-5\right)+2\)

\(A=4x^2-12x+9-x^2-4x+5+2\)

\(A=3x^2-12x+16\)

\(A=3\left(x^2-4x+4\right)\)

\(A=3\left(x-2\right)^2\ge0\)

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=2\)

\(A=\left(2x-3\right)^2-\left(x-1\right)\left(x+5\right)+2\)

\(=4x^2-12x+9-\left(x^2+4x-5\right)+2\)

\(=4x^2-12x+9-x^2-4x+5+2\)

\(=3x^2-16x+16\)

\(=3\left(x^2-\frac{16}{3}x+16\right)\)

\(=3\left(x^2-2\cdot\frac{8}{3}\cdot x+\frac{64}{9}+\frac{80}{9}\right)\)

\(=3\left(x-\frac{8}{3}\right)^2+\frac{80}{3}\ge\frac{80}{3}\)

dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x-\frac{8}{3}=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{8}{3}\)

vậy...

\(B=n^4-27n^2+121\)

\(B=n^4+22n^2+121-49n^2\)

\(B=\left(n^2+11\right)^2-49n^2\)

\(B=\left(n^2+11-7n\right)\left(n^2+11+7n\right)\)

Vì n là số tự nhiên => \(n^2+11+7n>11\)

Để B là số nguyên tố

=> \(n^2-7n+11=1\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=2\\n=5\end{cases}}\)

what

Tôi đi học được bố cục theo dòng hồi tưởng của nhân vật "tôi” về những kỉ niệm buổi tựu trường. Tiết trời vào những ngày cuối thu, hình ảnh các em nhỏ đến trường gợi cho nhân vật “tôi” nhớ lại ngày đầu tiên đi học. "Tôi" nhớ lại con đường cùng mẹ đến trường, cảnh vật trên đường vốn rất quen nhưng lần này tự nhiên thấy lạ, “tôi” cảm thấy có sự thay đổi lớn trong lòng mình. Đó là cảm giác trang trọng và đứng đắn trong chiếc áo vải dù đen dài, cùng mấy quyển vở mới trên tay. Bàn tay cẩn thận, nâng niu mấy quyển vở, lúng túng muốn thử sức nên xin mẹ được cầm cả bút, thước như các bạn khác. Khi nhìn thấy ngôi trường ngày khai giảng, "tôi" thấy ngạc nhiên vì sân trường hôm nay dày đặc cả người, ai cũng ăn mặc sạch sẽ, gương mặt tươi vui và sáng sủa. Ngôi trường vừa xinh xắn vừa oai nghiêm khác thường, “tôi” cảm thấy mình bé nhỏ, do đó lo sợ vẩn vơ. Đặc biệt, lúc ngồi vào chỗ của mình trong giờ học đầu tiên, nghe thầy giáo gọi tên, bắt đầu học bài học thứ nhất,... nhân vật chính của thiên truyện vừa thấy hồi hộp, ngỡ ngàng lại vừa tự tin, sung sướng.

Từ giả thiết ta có: \(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\le0\Rightarrow x^2\le3x-2\). Tương tự \(y^2\le3y-2\)

Từ đây ta có: \(A\ge\frac{x+2y}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{y+2x}{3\left(x+y+1\right)}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\)

\(=\frac{x+y}{x+y+1}+\frac{1}{4\left(x+y-1\right)}\). Đặt \(t=x+y\Rightarrow2\le t\le4\)

Ta sẽ tìm min của \(A=\frac{t}{t+1}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}\) với \(2\le t\le4\). Đến đây vẫn chưa mừng được vì ko thể dùng miền giá trị!Ta sẽ chứng minh A \(\le\frac{7}{8}\). Thật vậy: \(A-\frac{7}{8}=\frac{t}{t+1}-\frac{3}{4}+\frac{1}{4\left(t-1\right)}-\frac{1}{8}\)

\(=\frac{t-3}{4\left(t+1\right)}-\frac{t-3}{8\left(t-1\right)}=\frac{4\left(t-3\right)^2}{32\left(t+1\right)\left(t-1\right)}\ge0\). Do đó...

Đẳng thức xảy ra khi (x;y) = (2;1) và các hoán vị của nó!

P/s: Nhớ check xem em có quy đồng sai chỗ nào không:v

Ấy nhầm:v "Ta sẽ chứng minh \(A\ge\frac{7}{8}\)" Thế này mới đúng nha, đánh lanh tay quá nên nhầm:)))