Bài này là chứng minh đường thẳng ơ le. 
cách 1:
 

Gọi E,FE,F lần lượt là trung điểm của BC,AC. Ta có EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF//AB.
Ta lại có OF//BH(cùng vuông góc với ACA). Do đó : ˆOFE=ˆABH

Tương tự ˆOEF=ˆBAH

Từ đó ta có tam giác ABH đồng dạng với tam giác EFO

Suy ra AH/OE=AB/EF=2

mà AG/GE=2.
Do đó: AG/EG=AH/OE=2
mà ˆHAG=ˆOEG

⇒ΔHAG∼ΔEOG⇒ˆHGA=ˆEGO

nên ˆHGA+ˆAGO=ˆHGO=180

Vậy H,G,O thẳng hàng.
C2 : dùng véc tơ để tính
C3: dựng đường tròn 9 điểm => ...

Ta có : góc DCA = góc DBA = 90 độ ( góc nội tiếp chắn \(\frac{1}{2}\) (O)) 
Xét tứ giác \(BHCD,\) ta có :  \(BH\) // \(DC\) ( vì cùng vuông góc với \(AC\)) 
                                                \(CH\)// \(DB\) ( vì cùng vuông góc với AB ) 
Do đó tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành . 
\(\Rightarrow\) \(H,\)\(I,\)\(D\) thẳng hàng và \(IH=ID\) (tính chất đường chéo hình bình hành) 
Ta lại có : \(OI=\frac{1}{2}AH\) ( đường trung bình tam giác \(DAH\) )                                        \(\left(1\right)\) 
               \(GI=\frac{1}{2}GA\) (tính chất trọng tâm của \(ABC\) )                                               \(\left(2\right)\)
Góc\(HAG\) =    góc \(GIO\) ( so le trong vì \(AH\) // \(OI\) )                                               \(\left(3\right)\)
Do đó tam giác \(GAH\) đồng dạng tam giác \(GIO\) ( c.g.c) 
\(\Rightarrow\) góc \(HGA\) =    góc \(IGO\) (góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng ) 
Vì góc \(HGA\) và góc \(IGO\) là 2 góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau nên ta suy ra \(H,\) \(G,\)\(O,\)thẳng hàng . 
Vậy trong 1 tam giác trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên 1 đường thẳng đó là đường thẳng Euler !

Gọi giao điểm của đg thẳng vuông góc với AD cắt AD tại T

Xét tam giác ANC vuông tại C và tam giác ANT vuông tại T có

       AN^2=AT^2 + TN^2       (Đlí Py-ta-go)

       AN^2=CN^2 + AC^2

=> AT^2+TN^2=CN^2+AC^2     (1)

 Xét tam giác TND vuông tại T, tam giác KDT vuông tại T, tam giác ATK vuông tại T, tam giác ABK vuông tại B có

     ND^2=TD^2+TN^2

     KD^2=TD^2+TK^2

     AK^2=AT^2+TK^2

     AK^2=AB^2+BK^2

=>(1) <=> AC^2 + NC^2-NT^2 =AT^2

Mà NC=ND( Vì N là trung điểm của CD ) ;AB=AC (GT)

 => AC^2+NC^2-NT^2=AT^2 <=> AC^2 + ND^2 - NT^2 = AT^2

                                              <=> AC^2 + (ND^2 - NT^2)= AT^2

                                              <=>AB^2 + TD^2 = AT^2

                                              <=> AB^2+(KD^2 - KT^2) = AT^2

                                              <=> AB^2 + KD^2 - KT^2 =AT^2

                                              <=> KD^2 - ( KT^2 + AT^2)= -(AB)^2

                                              <=> KD^2 - AK^2 = -(AB)^2

                                              <=> KD^2 = AK^2 - AB^2

                                              <=> KD^2 = BK^2

                                              <=> KD = KB

Vậy KB = KD 

Gọi giao điểm của dường thẳng vuông góc với AD cắt AD tại T

Xét tam giác ANC vuông tại C và tam giác ANT vuông tại T , ta có :

\(AN^2=AT^2+TN^2\)( định lí Py-ta-go )

\(AN^2=CN^2+AC^2\)

\(\Rightarrow AT^2+TN^2=CN^2+AC^2\left(1\right)\)

Xét tam giác TND vuông tại T , KDT vuông tại T , ATK vuông tại T , ABK vuông tại B : Ta có :

\(ND^2=TD^2+TN^2\)

\(KD^2=TD^2+TK^2\)

\(AK^2=AT^2+TK^2\)

\(AK^2=AB^2+BK^2\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow AC^2+NC^2-NT^2=AT^2\)

Mà NC = ND ( Vì N là trung điểm của CD ) 

AB = AC(gt)

\(\Rightarrow AC^2+NC^2-NT^2=AT^2\Leftrightarrow AC^2+ND^2-NT^2=AT^2\)

\(\Leftrightarrow AC^2+\left(ND^2-NT^2\right)=AT^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2+TD^2=AT^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2+\left(KD^2-KT^2\right)=AT^2\)

\(\Leftrightarrow AB^2+KD^2-KT^2=AT^2\)

Bạn tự làm tiếp nhé~

+) Ta có: 1 số chia 5 có số dư là: 0; 1; 2; 3; 4

=> 1 số chính phương chia 5 sẽ có số dư là: 0; 1; 4

=> Lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên chia 5 sẽ có số dư là: 0; 1 

=>  các số \(a^4;b^4;c^4\) chia cho 5 sẽ có bộ 3 số dư là: 0; 0; 0 hoặc 1;1;1 hoặc 1; 0; 0 hoặc 1; 1; 0

Nếu \(a^4;b^4;c^4\)chia  cho 5 sẽ có bộ 3 số dư là:  1;1;1 hoặc 1; 1; 0

=> \(a^4+b^4+c^4\)chia cho 5 có số dư là 3 hoặc 2  vô lí vì \(a^4+b^4+c^4\) là một số chinh phương chia 5 dư 0; 1; 4

Do đó tồn tại 2 số trong 3 số chia cho 5 dư 0 hay chia hết cho 5

=> Giả sử đó là \(a^4⋮5\) và \(b^4⋮5\) => \(a,b⋮5\)=> \(abc⋮25\)(1)

+) Xét các trường hợp chẵn lẻ: nhận xét: Số chính phương chẵn chia 8 dư 0 hoặc 4; Số chính phương lẻ chia 8 dư 1 

=> Lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên chẵn chia hết cho 8;  Lũy thừa bậc 4 của 1 số tự nhiên lẻ chia 8 dư 1

Nếu a, b, c lẻ => \(a^4+b^4+c^4\)chia 8 dư 3  loại 

Nếu 2 trong 3 số a, b, c lẻ => \(a^4+b^4+c^4\)chia 8 dư 2 loại

=> Tồn tại 2 trong 3 số a, b, c là số chẵn 

=> \(abc⋮4\)(2)

từ (1); (2) và (4;25) = 1; 4.25=100

=> \(abc⋮100\)

A B C D E I K M T

gọi giao của BK và CI là T

ta có : Ab=AC=>tam giác ABC cân tại A

=> góc ABC= góc ACB

ABD=180^o-ABC

ACE=180^o-ACB

=> góc ABD= góc ACE

xét tam giác ABD và tam giác ACE có:

BD=CE(gt)

góc ABD=góc ACE

AB=AC(gt)

=> tam giác ABD=tam giác ACE(c.g.c)

=> AK=AE=> tam giác AKE cân tại A

MB=MC

BD=CE

MD=MB+BD

ME=MC+CE

=> MD=ME

tam giác AKE cân tại A có AM là đường trung tuyến=> AM đồng thời là phân giác góc KAE(1)

xét 2 tam giác vuông KBD và ICE có:

góc D= góc E(tam giác AKE cân tại A)

DB=EC(gt)

=>tam giác KBD=tam giác ICE(CH-GN)

=>KD=IE

AD=AE

AK=AD-DK

AI=AE-IE

=> AK=AI

xét 2 tam giác vuông AKB và tam giác AIC có:

AK=AI(cmt)

AB=AC(gt)

=>tam giác AKB=tam giác AIC(CH-CGV)

=> AT là tia phân giác góc KAE(2)

từ (1)(2)=> AI trùng AM=> A,M,T thẳng hàng

=> AM,BK,CT đồng quy tại T

bang 8

A B E D C F

Lấy điểm F sao cho ^BCF = 90^o  => ^ACF = ^ABC = 19^o => ^DCA = ^FCA = 19^o 

Có ^ECF + ^ECB  = ^BCF = 90^o 

^CFE + ^EBC = 180^o - ^BCF = 90^o 

Mà ^ECB = ^EBC = 19^o  (1)

=> ^ECF = ^EFC => \(\Delta\)FEC cân => FE = EC 

(1) => => \(\Delta\)EBC cân => EB = EC 

=> FE = EB 

=> FE = \(\frac{1}{2}\)BF 

=> AE + AF = \(\frac{1}{2}\)( BD + DF ) 

Mặt khác \(\Delta\)DCF có: ^DCA = ^ACF (= 19^o) do đó CA phân giác ^DCF  mà CA là đường cao \(\Delta\)DCF

=> \(\Delta\)DCF cân  tại C => A là trung điểm DF => DF = 2AF

=> AE + AF = \(\frac{1}{2}\)BD + \(\frac{1}{2}\)DF 

=> AE + AF = \(\frac{1}{2}\)BD + AF 

=> AE = \(\frac{1}{2}\)BD 

=> BD / AE = 2

A B C D

Ta có

\(AD^2+2CD^2+3BD^2=AB^2-BD^2+2\left(BC^2-BD^2\right)+3BD^2\)

\(=AB^2+2BC^2=AB^2+BC^2+CA^2\)

\(\Rightarrow\)ĐPCM

mình không biết mk mới học lớp 7

f(x) chia hết cho 3 với mọi x

=> f(0) chia hết cho 3 => C chia hết cho 3 

f(1) ; f(-1) chia hết cho 3 

=> f(1) = A+B +C chia hết cho 3 và f(-1) = A - B + C chia hết cho 3

=> f(1) + f(-1) chia hết cho 3 và  f(1) -  f(-1) chia hết cho 3 

f(1) + f(-1) chia hết cho 3 => 2A + 2C chia hết cho 3 => A + C chia hết cho 3 mà C chia hết cho 3 => A chia hết cho 3

f(1) - f(-1) chia hết cho 3  => 2B chia hết cho 3 => B chia hết cho 3

Vậy.......................

f(x) chia hết cho 3 với mọi x

=> f(0) chia hết cho 3 => C chia hết cho 3 

f(1) ; f(-1) chia hết cho 3 

=> f(1) = A+B +C chia hết cho 3 và f(-1) = A - B + C chia hết cho 3

=> f(1) + f(-1) chia hết cho 3 và  f(1) -  f(-1) chia hết cho 3 

f(1) + f(-1) chia hết cho 3 => 2A + 2C chia hết cho 3 => A + C chia hết cho 3 mà C chia hết cho 3 => A chia hết cho 3

f(1) - f(-1) chia hết cho 3  => 2B chia hết cho 3 => B chia hết cho 3

Vậy.......................

cách làm kiểu gì vậy bạn ơi giúp mình đi

Tìm x,y thuộc z sao cho 3x+1:hết cho y và 3y+1 :hết cho x? bn dựa vào bài này để lm bài kia nhé nó giống nhau đấy mk ko muốn trình bày mỏi tay lw

Ta tìm nghiệm x, y > 0. Ta tìm nghiệm y ≤ x, các nghiệm còn lại có được bằng cách hoán vị x và y  
3x + 1 ≥ 3y + 1 = kx, với k là số tự nhiên => k = 1, 2, 4 (3y + 1 không chia hết cho 3) 
Với k = 1 => 3y + 1 = x, 3x + 1 = 9y + 4 chia hết cho y <=> 4 chia hết cho y <=> y = 1 và x = 3y + 1 = 4, hoặc y = 2 và x = 3y + 1 = 7, hoặc y = 4 và x = 3y + 1 = 13. 
Với k = 2 => 3y + 1 = 2x, 3x + 1 = (9y + 5) / 2 = my (với m tự nhiên) 
=> (2m - 9)y = 5 => y là ước của 5 <=> y = 1 và x = (3y + 1) / 2 = 2, hoặc y = 5 và x = (3y + 1) / 2 = 8 
Với k = 4 => 3x + 1 ≥ 4x => 1 ≥ x ≥ 1 => x = 1 => 3x + 1 = 4 chia hết cho y <=> y = 1, 2 hoặc 4 
=> nghiệm (x, y) = (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (4, 1), (7, 2), (8, 5), (13, 4) và (hoán vị) (2, 7), (5, 8), (4, 13) 

2. Ta tìm 2 nghiệm x, y < 0. Đặt x1 = -x > 0, y1 = -y > 0. 
3x + 1 = -3x1 + 1 = - (3x1 - 1) chia hết cho y = -y1, tức (3x1 - 1) chia hết cho y1. Tương tự (3y1 - 1) chia hết cho x1. Ta tìm x ≤ y, tức y1 ≤ x1, các nghiệm còn lại có được bằng cách hoán vị x và y. 
3x1 - 1 ≥ 3y1 - 1 = kx1, với k là số tự nhiên => k = 1, 2 
Với k = 1=> x1 = 3y1 - 1, 3x1 - 1 = 9y1 - 4 chia hết cho y1 <=> 4 chia hết cho y1 <=> y1 = 1 và x1 = 2, hoặc y1 = 2 và x1 = 5, hoặc y1 = 4 và x1 = 11 
Với k = 2 => 3y1 - 1 = 2x1, 3x1 - 1 = (9y1 - 5) / 2 = my1 (với m tự nhiên) 
=> (9 - 2m)y1 = 5 => y1 là ước của 5 <=> y1 = 1 và x1 = (3y1 - 1) / 2 = 1, hoặc y1 = 5 và x1 = 7 
=> nghiệm (x, y) = (-11, -4), (-7, -5), (-5, -2), (-2, -1), (-1, -1) và (-1, -2), (-2, -5), (-4, -11), (-5, -7) 

3. Ta tìm nghiệm y < 0 < x, nghiệm x < 0 < y có được bằng cách hoán vị x và y. 
Ta đặt y1 = - y > 0. 
3x + 1 chia hết cho y = -y1, tức chia hết cho y1. 3y + 1 = -(3y1 - 1) chia hết cho x, tức (3y1 - 1) chia hết cho x. 
3a. y1 ≤ x 
3x + 1 ≥ 3y1 + 1 > 3y1 - 1 = kx => k = 1, 2 (3y1 - 1 không chia hết cho 3) 
Với k = 1 => x = 3y1 - 1 => 3x + 1 = 9y1 - 2 chia hết cho y1 <=> 2 chia hết cho y1 <=> y1 = 1 và x = 3y1 - 1 = 2 hoặc y1 = 2 và x = 5 
Với k = 2 => 3y1 - 1 = 2x => 3x + 1 = (9y1 - 1) / 2 = my1(m tự nhiên) 
(9 - 2m)y1 = 1 => y1 = 1 => x = (3y1 - 1) / 2 = 1 
=> nghiệm (x, y) = (1, -1), (2, -1), (5, -2) 

3b. x < y1 
ky1 = 3x + 1 < 3y1 + 1 => k = 1, 2 (3x + 1) không chia hết cho 3) 
Với k = 1 => y1 = 3x + 1 => 3y1 - 1 = 9x + 2 chia hết cho x <=> 2 chia hết cho x <=> x = 1 và y1 = 3x + 1 = 4, hoặc x = 2 và y1 = 7 
Với k = 2 => 2y1 = 3x + 1 => 3y1 - 1 = (9x + 1) / 2 = mx (m tự nhiên) 
=> (2m - 9)x = 1 => x = 1 => y1 = (3x + 1) / 2 = 2 
=> nghiệm (x, y) = (1, -2), (1, -4), (2, -7) 

Vậy nghiệm x, y khác dấu là: (x, y) = (1, -1), (2, -1), (5, -2), (1, -2), (1, -4), (2, -7) và (hoán vị) (-1, 1), (-1, 2), (-2, 5), (-2, 1), (-4, 1), (-7, 2) 
------------- 
Kết luận: tất cả các nghiệm: 
(x, y) = (-11, -4), (-7, -5), (-7, 2), (-5, -7), (-5, -2), (-4, -11), (-4, 1), (-2, -5), (-2, -1), (-2, 1), (-2, 5), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 1), (-1, 2), (1, -4), (1, -2), (1, -1), (1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, -7), (2, -1), (2, 1), (2, 7), (4, 1), (4, 13), (5, -2), (5, 8), (7, 2), (8, 5), (13, 4) 
----------- 
Tất nhiên là tôi chưa kiểm tra lại

 \(1+5^x=2^y+5.2^z\)

+) Với \(x\inℕ^∗\)

Xét:  VT = \(1+5^x\)chia 4 dư 2 và chia 5 dư 1

+) Với \(y,z\inℕ^∗\)

Xét VP = \(2^y+5.2^z\)

TH1: y , z > 1

=> VP = \(2^y+5.2^z\)chia hết cho 4 

=> loại

TH2: y , z = 1

=> VP = 12 chia hết cho 4 

=> loại

TH3: y = 1, z > 1

=> VP = \(2+5.2^z\)chia 5 dư 2

=> loại

TH4: y > 1, z = 1

=> Ta có phương trình: \(5^x=2^y+9\)

Với y = 2 thì \(5^x=13\)loại

Với y > 2. khi đó: \(2^y+9\) chia 8 dư 1 => \(5^x\)chia 8 dư 1 => x là số chẵn => Đặt x = 2k ( k là số tự nhiên >1)

Ta có phương trình:\(5^{2k}-9=2^y\)

<=> \(\left(5^k-3\right)\left(5^k+3\right)=2^y\)

Khi đó tồn tại hai số tự nhiên a, b sao cho: a + b = y và a > b để:

\(\hept{\begin{cases}5^k+3=2^a\\5^k-3=2^b\end{cases}}\)=> \(2^a-2^b=6\)(1)

Với : b > 2 => \(2^a-2^b⋮8\)loại

Với : b = 2 => \(2^a-4=6\)=> loại

Với b = 1 => \(2^a-2=6\)=> \(2^a=8=2^3\)=> a = 3

Với b = 0 => \(2^a-1=6\)loại

Vậy b = 1 và a = 3 là thỏa mãn (1) 

=> y = a + b = 4 

=> \(5^x=2^4+9=25=5^2\)

=> x = 2

Ta thử lại với x = 2; y = 4 ; z = 1 thấy thỏa mãn

Vậy: x =2 ; y = 4 ; z = 1.

+) Nhận xét: Nếu a + b = 1 thì f(a) +f(b) = 1. Thật vậy:

Ta có: f(a) + f(b) = \(\frac{100^a}{100^a+10}+\frac{100^b}{100^b+10}=\frac{100^{a+b}+10.100^a+100^{b+a}+10.100^b}{\left(100^a+10\right)\left(100^b+10\right)}\)

\(=\frac{100^1+10.\left(100^a+100^b\right)+100^1}{100^{a+b}+10.\left(100^a+100^b\right)+100}=\frac{200+10.\left(100^a+100^b\right)}{200+10.\left(100^a+100^b\right)}=1\)

+) Áp dụng: 

 \(f\left(\frac{1}{2015}\right)\) + \(f\left(\frac{2}{2015}\right)\)+ \(f\left(\frac{3}{2015}\right)\)+ ... + \(f\left(\frac{2014}{2015}\right)\)

= \(\left[f\left(\frac{1}{2015}\right)+f\left(\frac{2014}{2015}\right)\right]+\left[f\left(\frac{2}{2015}\right)+f\left(\frac{2013}{2015}\right)\right]+...+\left[f\left(\frac{1007}{2015}\right)+f\left(\frac{1008}{2015}\right)\right]\)

= 1 + 1 + ...+ 1 (có 2014 : 2 = 1007 số 1)

= 1007