nguowch đề :))

\(ab^2+b+7⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow a\left(ab^2+b+7\right)-b\left(a^2b+a+b\right)⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow7a-b^2⋮a^2b+a+b\left(1\right)\)

\(+,7a=b^2\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(7k^2;7k\right)\left(k\text{ nguyên dương}\right)\)

\(+,7a>b^2\text{ từ 1}\Rightarrow7a-b^2\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow6a\ge a^2b+b+b^2\text{ mà: b là số nguyên dương}\Rightarrow b< 3\Leftrightarrow b\in\left\{1;2\right\}\)

làm tiếp

\(+,7a< b^2\text{ từ (1)}\Rightarrow b^2-7a\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow voli\text{ :)}.Tự\text{ kết luận}\)

Xét hiệu \(S_1-S_2=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}\)

                         \(=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{c+a}\)

                         \(=a-b+b-c+c-a\)

                           \(=0\)

\(\Rightarrow S_1=S_2\)

+) Áp dụng bđt AM-GM ta có:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)

\(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{b^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=b\)

\(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge2\sqrt{\frac{c^2}{c+a}.\frac{c+a}{4}}=c\)

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:

\(S_1+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)

\(\Rightarrow S_1\ge\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)

dit me may

Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của Tôi Là Ai - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Chẳng có gì hay! Bài này chỉ hay khi nó là tìm Min (A đạt min là \(-\frac{446}{725}\) tại \(\left(x;y;z\right)=\left(-\frac{3}{4};-\frac{3}{4};\frac{5}{2}\right)\) và các hoán vị)

Cách 1:

Xét BĐT phụ: \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\left(\text{với }a\ge-\frac{3}{4}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\ge0\) đúng với mọi \(a\ge-\frac{3}{4}\)

Áp dụng: \(A\le\frac{18}{25}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Cách 2: (được suy ra từ cách trên)

Chú ý: \(\frac{a}{a^2+1}=\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}-\frac{\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\)

Từ đó viết được "SOS" (tại nó là sos của t chứ không phải sos chính thống của Phạm Kim Hùng:v)

Cho sửa cái đề:

Tìm \(A_{max}=\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\)

A B C D I E M O N F

LẤY I LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BC, O LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA AC

XÉT TAM GIÁC MAN VÀ TAM GIÁC IOF CÓ

OI = AB/2=AE/2=AM

OF=AN ( CÚNG LÀ ĐƯƠNG CAO CỦA TAM GIÁC ĐỀU)

GÓC FOI = GÓC MAN = 90 + GÓC A

=> TAM GIÁC MAN = TAM GIACC IOF ( C.G.C)

=> FI = DM

=> GÓC OFI = GÓC MNA

=> GÓC MND = GÓC ANC - GÓC MNA - GÓC DNC

                     = 90 - GÓC OFI - GÓC IFC

                    = 90 - 30 = 60

LẠI CÓ FI = ND/2

           FI = MD

=> MD = ND/2

MÀ GÓC MND = 60

-> TAM GIÁC MND LÀ NỬ TAM GIÁC ĐỀU

=> DM VUÔNG GÓC DN

Hà Minh Hiếu Good !  

Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)

Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)

             \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)

 \(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)

đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

\(VT=a-\frac{ab^2}{b^2+1}+b-\frac{bc^2}{c^2+1}+c-\frac{ca^2}{a^2+1}\)

\(=3-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\)

Áp dụng BCS:

\(\frac{ab^2}{b^2+1}\le\frac{ab^2}{2b}=\frac{ab}{2}\)

\(\frac{bc^2}{c^2+1}\le\frac{bc^2}{2c}=\frac{bc}{2}\)

\(\frac{ca^2}{a^2+1}\le\frac{ca^2}{2a}=\frac{ca}{2}\)

\(\Rightarrow3-\left(\frac{ab^2}{b^2+1}+\frac{bc^2}{c^2+1}+\frac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge3-\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Ta có BĐT phụ:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le3\)(vì a+b+c=3)

\(\Rightarrow\frac{ab+bc+ca}{2}\le\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Vậy \(VT=a-\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=1\))

https://olm.vn/hoi-dap/detail/227071860547.html

Vì n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên sảy ra hai trường hợp

Th1: n là số chắn  => n⁴ + 4ⁿ  là , hợp số.

Th2: n số lẻ  => n = 2k + 1

Thì n⁴ + 4ⁿ  = n⁴ + 4^{2k + 1} = (n² + 2^{2k + 1})² - n².2^{2k + 2} = (n² + 2^{2k + 1} + n.2^{k + 1} )  (n² + 2^{2k + 1} - n.2^{k + 1} ) 

Ta có : n² + 2^{2k + 1 \(\ge2.n.2\frac{2k+1}{2}=n.2^{k+1}\)}

Mà n là số lẻ và lờn hơn 1 nên n² + 2^{2k + 1} - n.2^{k + 1} > 1

Vậy n⁴ + 4ⁿ là hợp số 

Có 2 trường hợp:

Th 1: \(n\)chẵn suy ra đương nhiên \(n^4+n^4\)là hợp số 

Th 2: \(n\)lẻ suy ra \(n=2k+1\)

Suy ra:

\(n^4+n^4=n^4+n^{2n}=n^4+2.2^n+2^{2n}-2.2^n=\left(n^2+2^n\right)^2-2.2^{2k+1}=\left(n^2+2^n\right)^2-\left(2^k+1\right)^2\)

\(=\left(n^2+2^n-2^{k+1}\right)\left(n^2+2^n+2^{k+1}\right)\)

Suy ra là tích của 2 số nên nó là hợp số
 

Nguyễn Linh Ch Thanks cô ạ,e thiếu + 2:(( ko hiểu sao dạo này e hay nhầm ạ:(

\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x^2y^2}=\frac{1}{\left(xy\right)^2}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=16\)

Ta có:

\(P=a+\frac{1}{a}+2=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{256}\right)+\frac{255a}{256}+2\)

Theo BĐT Cô-si ta có:

\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{256}}+\frac{255\cdot16}{256}+2=\frac{289}{16}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=6\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

Đặt \(\frac{1}{x^2y^2}=a\)

Ta có:\(a=\frac{1}{x^2y^2}=\frac{1}{\left(xy\right)^2}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}\ge16\)

Khi đó:

\(P=a+\frac{1}{a}+2=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{256}\right)+\frac{255a}{256}\)

Theo BĐT Cô si ( từ nay bỏ AM-GM,thấy quê quê sao á ) ta có:

\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{256}}+\frac{255\cdot16}{256}=\frac{27}{16}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

b)Ta có:  \(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)

\(\Rightarrow a^{2001}+b^{2001}\)\(-a^{2000}-b^{2000}=0\)

\(\Rightarrow a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\)(1)

và \(a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}\)

\(\Rightarrow a^{2002}+b^{2002}\)\(-a^{2001}-b^{2001}=0\)

\(\Rightarrow a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\)(2)

Lấy (2) - (1), ta được: \(a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\)(3)

Mà \(a^{2000}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)và \(b^{2000}\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)

nên (3) xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^{2000}\left(a-1\right)^2=0\\b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1hoaca=0\\b=1hoacb=0\end{cases}}\)

Mà a,b dương nên a = 1 và b = 1

a) Áp dụng BĐT Svac - xơ:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))