Áp dụng BĐT cho 2 số dương:

\(\frac{1}{\left(a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Xét: c + 1 = c + a + b + c

\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}\le\frac{ab}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+c\right)}\right]\)

Tương tự:

\(\frac{bc}{\left(a+1\right)}\le\frac{bc}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+c\right)}+\frac{1}{\left(b+a\right)}\right]\)

\(\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{ac}{4}.\left[\frac{1}{\left(a+b\right)}+\frac{1}{\left(c+b\right)}\right]\)

Cộng lại: 
\(\frac{ac}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{\left(b+1\right)}\le\frac{1}{4}\left\{\frac{ab}{\left(a+c\right)}+\frac{ab}{\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+c\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)}\right\}\)

Cộng lại + rút gọn mẫu số

\(\frac{ab}{\left(c+1\right)}+\frac{bc}{\left(a+1\right)}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)

Dấu '=' xảy ra khi a = b = c

P/s: Sai đâu bạn sửa nhé!

Gọi x (phút ) là thời gian người khách đó đi từ A đến B

=> Trong x phút, người đó gặp \(\frac{x}{15}\) chuyến xe buýt đi từ A tới B đồng thời gặp \(\frac{x}{10}\) chuyến xe buýt đi từ B tới A

Nếu khi đến B, người đó quay về A ngay thì trong x phút: người đó gặp \(\frac{x}{15}\) chuyến đi từ B về A đồng thời \(\frac{x}{10}\) phút đi từ A về B

=> Trong vòng 2x  (phút) người đó gặp : \(\frac{x}{15}\) + \(\frac{x}{10}\) = \(\frac{x}{6}\) (chuyến ) xe buýt đi từ A về B

=> Thời gian các xe lần lượt rời bến là sau: 2x : \(\frac{x}{6}\) = 12 phút

Gọi quãng đường nằm ngang là x 

=> Thời gian đi trên đoạn nằm ngang đi về là 2x/15 

=> Thời gian xuống dốc là 2(30 -x)/20 (xuống dốc lúc đi DB, xuống dốc lúc về AC, công lại chính là tổng đoạn đường trừ đi đường ngang) 

=> Thời gian lên dốc là 2(30 -x)/10 

*̀ 4h25 =4 + 5/12 = 53/12 

Ta có phương trình 

2[x/15 + (30 -x)/20 + (30-x)/10] = 53/12 

Giải ra x

dat \(x^2-2x+2=y\)

ta co pt

\(y^4+20x^2y^2+64x^4\)

\(=\left(8x^2\right)^2+2.8x^2.\frac{10}{8}y^2+\left(\frac{10^{ }}{8^{ }}y^2\right)^2-\frac{36}{64}y^4\)

\(=\left(8x^2+\frac{10}{8}y^2\right)^2-\left(\frac{6}{8}y^2\right)^2\)

\(=\left(8x^2+\frac{y^2}{2}\right)\left(8x^2+2y^2\right)\)

bạn thay y  nữa là xong

\(\left(x^2-2x+2\right)^4+20x^2\left(x^2-2x+2\right)^2+64x^4\)

\(=\left(x^2-2x+2\right)^4+20x^2\left(x^2-2x+2\right)^2+100x^4-36x^4\)

\(=\left[\left(x^2-2x+2\right)^2+10x^2\right]^2-36x^4\)

\(=\left(x^4-4x^3+18x^2-8x+4\right)^2-\left(6x^2\right)^2\)

\(=\left(x^4-4x^3+24x^2-8x+4\right)\left(x^4-4x^3+12x^2-8x+4\right)\)

Cho M là điểm tùy ý nằm trong tam giác ABC; gọi D, E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, MCA, MAB

CM: ΔDEF đồng dạng ΔABC

ai giúp Tony đi ! Chúc Tony học giỏi!!!!

\(|x^2-2xy+y^2+3x-2y-1|+4=2x-|x^2-3x+2|\)

\(\Leftrightarrow2x-4=|x^2-2xy+y^2+3x-2y-1|+|x^2-3x+2|\ge0\)

\(\Leftrightarrow x\ge2\)

Với \(x\ge2\)thì ta suy ra được

\(\hept{\begin{cases}x^2-2xy+y^2+3x-2y-1=\left(x-y+1\right)^2+x-2\ge0\\x^2-3x+2=\left(x-2\right)^2+x-2\ge0\end{cases}}\)

Từ đây ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì ta có:

\(x^2-2xy+y^2+3x-2y-1+4=2x-\left(x^2-3x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+y^2-2xy-2x-2y+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y+1\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}}\)

x 2 − 2xy + y 2 + 3x − 2y − 1| + 4 = 2x − |x 2 − 3x + 2| ⇔2x − 4 = |x 2 − 2xy + y 2 + 3x − 2y − 1| + |x 2 − 3x + 2| ≥ 0 ⇔x ≥ 2 Với x ≥ 2thì ta suy ra được x 2 − 2xy + y 2 + 3x − 2y − 1 = x − y + 1 2 + x − 2 ≥ 0 x 2 − 3x + 2 = x − 2 2 + x − 2 ≥ 0 Từ đây ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì ta có: x 2 − 2xy + y 2 + 3x − 2y − 1 + 4 = 2x − x 2 − 3x + 2 ⇔2x 2 + y 2 − 2xy − 2x − 2y + 5 = 0 ⇔ x − y + 1 2 + x − 2 2 = 0 ⇔ x = 2 y = 3 

Ta có: \(3m^2+6n-61\)chia cho 3 dư 2 nên ta đặt

\(3m^2+6n-61=3k+2\)

\(\Rightarrow A=3^{3m^2+6n-61}+4=3^{3k+2}+4=9.27^k+4\)

Ta có 27 chia 13 dư 1 nên \(27^k\)chia 13 dư 1

\(\Rightarrow9.27^k\)chia 13 dư 9

\(\Rightarrow9.27^k+4\)chia hết cho 13 hay A chia hết cho 13

Mà A là số nguyên tố nên A = 13

\(\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow3m^2+6n-61=2\)

\(\Leftrightarrow m^2+2n=21\left(1\right)\)

Từ (2) ta có được m² phải là số lẻ và nhỏ hơn 21

\(\Rightarrow m^2=\orbr{\begin{cases}1\\9\end{cases}\Rightarrow m=\orbr{\begin{cases}1\\3\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow n=\orbr{\begin{cases}10\\6\end{cases}}\)

Vậy giá trị \(\left(m,n\right)=\left(1,10;3,6\right)\)

la toi

A = 4x²y² - (x² + y² - z²)² = (2xy - x² - y² + z²)(2xy + x² + y² - z²) = [z² - (x - y)²].[(x + y)² - z²] = (z - x + y)(z + x - y)(x + y + z)(x + y - z)

Vì x,y,z > 0 ; x + y > z ; z + y > x và z + x > y (vì x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác) nên các nhân tử của A đều dương => A > 0

Bạn ko hiểu chỗ nào thì hỏi mình nhé! Mình sửa (x² + y² - z²) thành (x² + y² - z²)²

Hóa ra đề bài ghi sai à? 

Đặt: a + b = x; b + c = y; c + a = z

Thì ta có: x \(\ge\)z \(\ge\)y

Theo đề bài ta có:

\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+b}-\frac{1}{2}+\frac{b}{b+c}-\frac{1}{2}+\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2\left(a+b\right)}+\frac{b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{z-y}{2x}+\frac{x-z}{2y}+\frac{y-x}{2z}\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy^2+yz^2+zx^2-x^2y-y^2z-z^2x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)\ge0\)(1)

Mà ta lại có 

\(\hept{\begin{cases}y-x\le0\\z-x\le0\\z-y\ge0\end{cases}}\)nên (1) đúng

\(\Rightarrow\)ĐPCM

Đấu = xảy ra khi x = y = z hay a = b = c

Đặt b+c=m

      a+c=n

      a+b=p

=>a+b+c =\(\frac{m+n+p}{2}\) 

a=\(\frac{n+p-m}{2}\) 

b=\(\frac{m+p-n}{2}\) 

c=\(\frac{m+n-p}{2}\) 

=>\(\frac{n+p-m}{2m}+\frac{m+n-p}{2n}+\frac{m+n-p}{2p}\) 

=\(\frac{1}{2}\left(\frac{n}{m}+\frac{m}{n}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{m}+\frac{m}{p}\right)\) +\(\frac{1}{2}\left(\frac{p}{n}+\frac{n}{p}\right)\) -\(\frac{3}{2}\) \(\ge\) \(\frac{3}{2}\) 

Áp dụng BĐT Cosi cho  2 số \(\frac{n}{m};\frac{m}{n}\)  ta được:

 Từ chứng minh tiếp ....

\(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\)(1)

Ta có: \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)

Vì \(x^2+y^2\)và x+y là các số nguyên => 2xy là số nguyên

\(x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)-2x^2y^2\)

Vì \(x^4+y^4,x^2+y^2\)là các số nguyên => \(2x^2y^2\)là số nguyên

=> \(\frac{1}{2}\left(2xy\right)^2\)là số nguyên=> \(\left(2xy\right)^2⋮2\)mà 2 là số nguyên tố => 2xy chia hết cho 2=> xy là số nguyên (2) 

Từ (1), (2) và x+y là số nguyên 

=> x^3+y^3 cũng là số nguyên.

Cô: x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2xxyy nhé cô :)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(1=\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\ge2.\sqrt{\frac{6}{xy}}\)

\(\Leftrightarrow1^2\ge4.\frac{6}{xy}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\frac{24}{xy}\)

\(\Leftrightarrow xy\ge24\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{x}=\frac{2}{y}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}}\)

Vậy \(xy_{min}=24\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=4\end{cases}}\)

T nghĩ ra câu b rồi nhé Pain,bớt xạo lz!

b) Từ \(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=1\),ta có: \(x+y=1\left(x+y\right)=\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+y\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki,ta có: \(\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{\frac{3}{x}.x}+\sqrt{\frac{2}{y}.y}\right)\)

\(=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2=5+2\sqrt{6}\)

Vậy \(Min_{x+y}=5+2\sqrt{6}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3+\sqrt{6}\\y=2+\sqrt{6}\end{cases}}\)