Sai đề rồi bạn ơi

Nếu đề là thế này thì mình ms làm được:

Cho \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) và \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0\).CMR:\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)

có thể đề như này : cho x/a+y/b+z/c=0 CM: (x/a)^3+(y/b)^3+(z/c)^3=(3xyz)/abc

Vì \(P\left(x\right)⋮7\forall x\) nên ta có :

\(P\left(0\right)=e⋮7\)

\(P\left(1\right)=a+b+c+d+e⋮7\)

\(P\left(-1\right)=a-b+c-d+e⋮7\)

\(\Rightarrow P\left(1\right)+P\left(-1\right)=\left(2a+2c+2e\right)⋮7\Rightarrow\left(a+c\right)⋮7\)

\(P\left(1\right)-P\left(-1\right)=\left(2b+2d\right)⋮7\Rightarrow\left(b+d\right)⋮7\)

\(P\left(2\right)=16a+8b+4c+2d+e=\left(14a+7b\right)+\left(2a+b+4c+2d+e\right)\)

\(\Rightarrow2a+b+4c+2d⋮7\)

\(P\left(-2\right)=16a-8b+4c-2d+e\)

\(\Rightarrow P\left(2\right)+P\left(-2\right)=32a+8c+2e\)

\(\Rightarrow4a+c⋮7\)

Do \(\left(a+c\right)⋮7\Rightarrow3a⋮7\Rightarrow a⋮7\Rightarrow c⋮7\)

\(P\left(2\right)-P\left(-2\right)=16b+4d\)

\(\Rightarrow\left(b+2d\right)⋮7\Rightarrow d⋮7\Rightarrow b⋮7\)

Vậy nên a, b, c, d, e đều chia hết cho 7.

Cách làm khác 1 chút .

\(F\left(x\right)=G\left(x\right).H\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right).H\left(x\right).\)

+Với \(x=1\Rightarrow F\left(x\right)=0\Leftrightarrow1+a+b=0\Rightarrow a+b=-1.\)(1)

+ Với x = -2 \(\Rightarrow F\left(x\right)=0\Leftrightarrow-8-2a+b=0\Rightarrow2a-b=-8.\)(2)

(1)(2) => a =-3 ; b =2

Vậy + P= ( -3 +2 ) ² +10 = 11 là số nguyên tố

Ta có

\(x^3+ax+b=\left(x-1\right)\left(x^2+x-2\right)+\left(a+3\right)x+b-2\)

Để đây là phép chia hết thì phần dư phải bằng 0 hay

\(\hept{\begin{cases}a+3=0\\b-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-3\\b=2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow P=\left(a+b\right)^2+10=\left(-3+2\right)^2+10=11\)

Vậy P là số nguyên tố

Ta có:\(m^4+4=m^4+4m^2+4-4m^2=\left(m^2+2\right)^2-4m^2=\left(m^2-2m+2\right)\left(m^2+2m+2\right)\)

Để \(m^4+4\) là số nguyên tố thì ta có 2 trường hợp xảy ra:

TH1:\(\hept{\begin{cases}m^2-2m+2=1\\m^2+2m+2=m^4+4\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m\left(m-2\right)=-1\\m\left(-m^3+m+2\right)=2\end{cases}}\).Từ hai pt trên ta có thể suy ra:m=1 thỏa mãn

TH2:\(\hept{\begin{cases}m^2-2m+2=m^4+4\\m^2+2m+2=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m\left(m-2-m^3\right)=2\\m\left(m+2\right)=-1\end{cases}}\).Tương tự TH1 ta cũng có:m=-1 thỏa mãn

Thay vào \(A=m^4+m^2+1\) ta thấy x=1 và x=-1 đều thỏa mãn

Vậy x\(\in\left\{-1,1\right\}\) thỏa mãn bài toán

Cho mình thêm đoạn cuối với,mình đọc thiếu đề.Bạn thêm cho mình:

  Vì \(m\in N\) nên \(m=1\) thỏa mãn

Vậy chỉ có m=1 thỏa mãn bài toán

Ta có:\(a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}-a-b-c\)

\(=a.\left(a^{2016}-1\right)+b.\left(b^{2016}-1\right)+c.\left(c^{2016}-1\right)\)

\(=a\left(a-1\right)\left(a^{2015}+...+a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b^{2015}+...+b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c^{2015}+...+c+1\right)\)

Ta có:\(a^{2015}+a^{2014}+.....+a+1=a^{2014}\left(a+1\right)+.......+a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)\)

\(=\left(a+1\right)\left(a^{2014}+a^{2012}+.......+1\right)\)\(\Rightarrow a^{2017}-a\) chia hết cho cả 2 và 3

\(\Rightarrow a^{2017}-a⋮6\).Tương tự ta cũng có:\(\hept{\begin{cases}b^{2017}-b⋮6\\c^{2017}-c⋮6\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}-\left(a+b+c\right)⋮6\) mà \(a+b+c⋮6\Rightarrow a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}⋮6\)

\(\Rightarrowđpcm\)

sai bét

\(P=\frac{3\left(a+b\right)}{\sqrt{9a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{9b\left(4b+5a\right)}}\)

\(\ge\frac{3\left(a+b\right)}{\frac{9a+4a+5b}{2}+\frac{9b+4b+5a}{2}}=\frac{1}{3}\)

Ta có :

  \(P^1=\frac{a+b}{\sqrt{a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{b\left(4b+5a\right)}}.\)

\(\Leftrightarrow P^2=\frac{3\left(a+b\right)}{\sqrt{9a\left(4a+5b\right)}+\sqrt{9b\left(4b+5a\right)}}\)

Mà ta thấy  biểu thức \(P^2\ge\frac{3\left(a+b\right)}{\frac{9a+4a+5b}{2}+\frac{9b+4b+5a}{2}}\)

                                     \(=\frac{1}{3}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{3}\)

     \(\)

\(Ta có: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - (\frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {a(b^3 + c^2 )} }}{{2\sqrt 2 }})\)

\(Do đó: \frac{{a^5 }}{{b^3 + c^2 }} \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{\sqrt {2a(b^3 + c^2 )} }}{2}\mathop \ge \frac{{3a^2 }}{2} - \frac{{2a + b^3 + c^2 }}{4}\)

\(CMTT \frac{{b^5 }}{{c^3 + a^2 }}\mathop \ge \frac{{3b^2 }}{2} - \frac{{2b + c^3 + a^2 }}{4}\), \(\frac{{c^5}}{{a^3+b^2}}\mathop \ge \frac{{3c^2 }}{2} - \frac{{2c + a^3 + b^2 }}{4}\)

\(M \ge \frac{{3(a^2 + b^2 + c^2 )}}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)

\(M \ge \frac{9}{2} + a^4 + b^4 + c^4 - \frac{{2(a + b + c) + (a^2 + b^2 + c^2 ) + (a^3 + b^3 + c^3 )}}{4}\)

Áp dụng Bunhiacoopski ta có:

\(\sqrt {(a^4+b^4+c^4 )(a^2+b^2+c^2)}=\sqrt {(a^4 +b^4+ c^4 ).3}\ge a^3+b^3+c^3 \)

\(\sqrt {(a^4 + b^4 + c^4 )(1 + 1 + 1)} = \sqrt {(a^2 + b^2 + c^2 ).3} \ge a^2 + b^2 + c^2 \Leftrightarrow a^4 + b^4 + c^4 \ge 3\)

Ta có: \(3 = a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{{(a + b + c)^2 }}{3} \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge a + b + c\) 

\(Đặt t=x^4+y^4+z^4 (t \ge 3) cần CM để trở thành S \ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4}\ge 0\)

\(Ta có: S\ge \frac{{4t - 9 - \sqrt {3t} }}{4} = \frac{{3(t - 3) + \sqrt t (\sqrt t - \sqrt 3 )}}{4} \ge 0 \)
\(Do đó: M\geq \frac{9}{2}\)

Phần đầu mình thiếu nha

\(\frac{a^5}{b^3+c^2}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\ge\frac{3a^2}{2}\)

=> \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\left(\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{a\left(b^3+c^2\right)}}{2\sqrt{2}}\right)\)

Do đó \(\frac{a^5}{b^3+c^2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\sqrt{2a\left(b^3+c^2\right)}}{2}\ge\frac{3a^2}{2}-\frac{\left(2a+b^3+b^2\right)}{4}\)

CMTT \(\frac{b^5}{c^3+a^2}\ge\frac{3b^2}{2}-\frac{\left(2b+c^3+a^2\right)}{4},\frac{c^5}{a^3+b^2}\ge\frac{3c^2}{2}-\frac{\left(2c+a^3+b^2\right)}{4}\)