Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P ):x+2y+3z-6=0$. Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $(P )$?

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $A(-1;\,2;\,-3 )$ đến mặt phẳng $(P ):x-2z=0$ là

Cho 4 điểm $A(1;-3;2 )$, $B(2;-3;1 )$, $C(3;1;2 )$, $D(1;2;3 )$. Mặt phẳng $(P )$ đi qua $AB$, song song với $CD$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của $(P )$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $M(3;-1;-2)$ và mặt phẳng $(P):3x-y+2z+4=0$. Phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $(P)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;4;5)$ và $B(-4;2;-3)$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{aligned}& x=2-2t \\& y=1+3t \\& z=3t \\\end{aligned} \right.$. Phương trình chính tắc của $d$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z}{2}$ và mặt phẳng $(\alpha):x+y-z+3=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1;2;-1 )$, cắt $d$ và song song với mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A(3;-1;1)$, nằm trong mặt phẳng $(P): x-y+z-5=0$, đồng thời tạo với $\Delta: \dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{2}$ một góc $45^\circ$. Phương trình đường thẳng $d$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ giả sử tồn tại mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2+y^2+z^2-4x+8y-2az+6a=0$. Nếu $(S)$ có đường kính bằng $12$ thì các giá trị của $a$ là

Trong không gian $Oxyz$, có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để phương trình $x^2+y^2+z^2+4mx+2my-2mz+9m^2-28=0$ là phương trình mặt cầu?

Phương trình mặt cầu có tâm $A(1;1;3)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $xOy$ là:

Cho khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD{A}'{B}'{C}'{D}'$ có chiều cao bằng $3$ cm, diện tích hai đáy lần lượt bằng $72$ cm² và $18$ cm². Gọi $I,\, O$ tương ứng là tâm của hai đáy $ABCD$ và ${A}'{B}'{C}'{D}'$. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$, với đơn vị trên mỗi trục là cm sao cho tia $Ox$ cùng hường với vectơ $\overrightarrow{O{D}'}$, tia $Oy$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{O{C}'}$, tia $Oz$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OI}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-2;-1 ),\,B(4;1;2 ),\,C(2;3;1 )$.

Trong không gian $Oxyz$ cho trước (1 đơn vị = $1$ cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đỏ bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm $t$ (tính bằng phút), kiến vàng ở tại vị trí $(2+2t;\,1-t;\,2+t )$ trên đường thẳng $d_1$. Cùng thời điểm đó, kiến đỏ ở tại vị trí $(7-t;\,2-t;\,-36+3t )$ trên đường thẳng $d_2$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(-1; 2; 5)$. Biết trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4$ km.