Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, phương trình của đường thẳng đi qua $M(1;2;1 )$ và $N(3;1;-2 )$ là

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $3$ điểm $A(1;-2;1);\,B(-1;0;3);\,C(-1;2;0).$ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng song song $d_1: \, \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-2}{3}$ và $d_2: \, \dfrac{x-4}{3}=\dfrac{y-1}{6}=\dfrac{z-3}{9}$. Mặt phẳng $(P)$ chứa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có phương trình là

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P )$ đi qua $M(-2;1;-1 )$ và vuông góc với đường thẳng $d:\dfrac{x-1}{-3}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{1}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x-4}{7}=\dfrac{y-5}{4}=\dfrac{z+7}{-5}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của $d$?

Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng $d:\left\{\begin{aligned}&x=2-t\\&y=1+2t\\&z=3+t\\\end{aligned}\right.$ có một vectơ chỉ phương là

Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, xét các đường thẳng đi qua hai nút lưới (mỗi nút lưới là đỉnh của hình lập phương), người ta đưa ra một cách kiểm tra độ lệch về phương của hai đường thẳng bằng cách gắn hệ tọa độ ${O x y z}$ vào khung lưới ô vuông và tìm vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. Giả sử, đường thẳng $a$ đi qua hai nút lưới $M(1 ; 1 ; 2)$ và $N(0 ; 3 ; 0)$, đường thẳng $b$ đi qua hai nút lưới $P(1 ; 0 ; 3)$ và $$Q\left( 3;3;9 \right)$$. Sau khi làm tròn đến hàng đơn vị của độ thì góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ bằng $n^\circ$ ($n$ là số tự nhiên). Giá trị của $n$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_1:\left\{ \begin{aligned}& x=t \\& y=-1-4t \\& z=6+6t \\\end{aligned} \right.$ và đường thẳng $d_2:\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+2}{-5}$. Phương trình đường thẳng đi qua $A(1;\,-1;\,2 )$ đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, hỏi trong các phương trình sau phương trình nào không phải là phương trình của mặt cầu?

Trong không gian ${ O x y z}$, mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=16$ đi qua điểm nào dưới đây?

Phương trình mặt cầu $$\left( S \right)$$ đi qua $$A\left( 3;-1;2 \right),\text{ }B\left( 1;1;-2 \right)$$ và có tâm $$I$$ thuộc trục $$Oz$$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;2;3 )$ và ba điểm $A,\,B,\,C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M(1;2;3 )$ lên các trục tọa độ. Gọi $(P )$ là mặt phẳng đi qua ba điểm $A,\,B,\,C$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P ):x+y+z+1=0$ và hai điểm $A(1;-1;2 );\,B(2;1;1 )$. Gọi $(Q )$ là mặt phẳng chứa $A,\,B$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(3;\,0;\,2)$, $N(2;\,2\,025;\,2\,026)$ và đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2\,024}{1}=\dfrac{z-2\,024}{2}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I(-1; 2; 5)$. Biết trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là $4$ km.