Lý thuyết

I. Đường tiệm cận ngang

Cho đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}+2$ như hình vẽ dưới đây:

Trên đồ thị lấy điểm $M\left(x;y\right)$ . Đồng thời trên đường thẳng $y=2$ lấy điểm $M'\left(x;2\right)$ có cùng hoành độ $x$ với điểm $M$ .

Ta có: $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\left(f\left(x\right)-2\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\left[\left(\dfrac{1}{x}+2\right)-2\right]=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{1}{x}=$ .

Suy ra: $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=$ .

Định nghĩa: Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trong một khoảng vô hạn (là khoảng dạng $\left(a;+\infty\right)$ hoặc dạng $\left(-\infty;b\right)$ hoặc $\left(-\infty;+\infty\right)$). Đường thẳng $y=y_0$ là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn

$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=y_0$ , $\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=y_0$.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\dfrac{4x+5}{x}$ là

y=5

y=4

y=-5

y=-4

@17100@

II. Đường tiệm cận đứng

Cho hàm số $y=\dfrac{1}{x}+2$ có đồ thị như hình dưới đây:

Điền vào ô trống:

a) Hàm số xác định khi $x\ne$

b) Khi cho $x>0$ và $x\rightarrow0$ thì $y\rightarrow$

c) Khi cho $x< 0$ và $x\rightarrow0$ thì $y\rightarrow$

Định nghĩa: Đường thẳng $x=x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau đây được thỏa mãn

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f\left(x\right)=+\infty$ , $\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=-\infty$

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0^+}f\left(x\right)=-\infty$ , $\lim\limits_{x\rightarrow x_0^-}f\left(x\right)=+\infty$

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị (C) của hàm số $y=\dfrac{x-1}{x+2}$ .

Giải:

Vì $\lim\limits_{x\rightarrow-2^+}\dfrac{x-1}{x+2}=$

nên đường thẳng

là tiệm cận

của (C).

Vì $\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x-1}{x+2}=$