Lý thuyết

I. Định nghĩa

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên tập D nếu $f\left(x\right)\le M$ với mọi $x$ thuộc D và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f\left(x_0\right)=M$. Kí hiệu $M=\max\limits_Df\left(x\right)$.

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left(x\right)$ trên tập D nếu $f\left(x\right)\ge m$ với mọi $x$ thuộc D và tồn tại $x_0\in D$ sao cho $f\left(x_0\right)=m$. Kí hiệu $m=\min\limits_Df\left(x\right)$.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=x-7+\dfrac{1}{x}$ trên $\left(0;+\infty\right)$ ?

Giải:

Trên khoảng $\left(0;+\infty\right)$ ta có $y'=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}$ .

$y'=0\Leftrightarrow x=1$ (chú ý chỉ xét trên khoảng $\left(0;+\infty\right)$ )

Bảng biến thiên

Vậy $\min\limits_{\left(0;+\infty\right)}y=$ tại $x=$ .

II. Cách tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Qui tắc tìm $m=\min\limits_{\left[a;b\right]}f\left(x\right)$ và $M=\max\limits_{\left[a;b\right]}f\left(x\right)$:

1. Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ trên khoảng $\left(a;b\right)$ tại đó $f'\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

2. Tính $f\left(a\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),...,f\left(x_n\right),f\left(b\right)$.

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có $M=\max\limits_{\left[a;b\right]}f\left(x\right),m=\min\limits_{\left[a;b\right]}f\left(x\right)$.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=x^2$ trên $\left[-2;1\right]$ ?

Giải:

1) $y'=2x$ ; $y'=0\Leftrightarrow x=0\in\left[-2;1\right]$

2) Tính $f\left(-2\right),f\left(0\right),f\left(1\right)$ .

$f\left(-2\right)=$

$f\left(0\right)=0$

$f\left(1\right)=$

3) $\min\limits_{\left[-2;1\right]}x^2=$

$\max\limits_{\left[-2;1\right]}x^2=$

Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $f\left(x\right)=\sin x$ trên $\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{7\pi}{6}\right]$ . Chọn đáp án đúng.

M=\dfrac{1}{2};m=-1

M=1;m=-1

M=\dfrac{1}{2};m=-\dfrac{1}{2}

M=1;m=-\dfrac{1}{2}

Cho hàm số

có đồ thị như hình vẽ sau:

$\min\limits_{\left[-2;3\right]}y=$

$\min\limits_{\left[0;3\right]}y=$

$\max\limits_{\left[-2;3\right]}y=$

$\max\limits_{\left[-2;1\right]}y=$

III. Ví dụ ứng dụng

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh a, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh x rồi gập tấm nhôm lại như hình sau để được hình hộp chữ nhật không nắp. Tính x để thể tích khối hộp là lớn nhất?

x=\dfrac{a}{6}

x=\dfrac{a}{3}

x=\dfrac{a}{4}

x=\dfrac{a}{5}

Bài học liên quan

Lý thuyết

I. Định nghĩa

II. Cách tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

III. Ví dụ ứng dụng