Xác định $m$ để hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&x+y=1 \\ &m x+y=2 m\\ \end{aligned}\right.$ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó theo $m$.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned}&\dfrac{3}{x+1}-2 y=-1 \\ &\dfrac{5}{x+1}+3 y=11\\\end{aligned}\right.$.

Giải bất phương trình $6+2x\lt 0$.

Bác Nga chia số tiền $600$ triệu đồng của mình cho hai khoản đầu tư. Sau một năm, tổng số tiền lãi bác thu được là $51,5$ triệu đồng. Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là $8\%$/năm và khoản đầu tư thứ hai là $9\%$/năm. Tính số tiền bác Nga đầu tư cho mỗi khoản.

Một người đi xe đạp từ $A$ đến $B$ cách nhau $45$ km. Sau $1$ giờ $20$ phút, một xe máy cũng đi từ $A$ đến $B$ và đến $B$ sớm hơn xe đạp $40$ phút. Tính vận tốc của xe đạp, biết vận tốc của xe máy gấp ba lần vận tốc của xe đạp.

Cho $a \lt b$. Chứng minh rằng $- 2a - 5 > - 2b - 5$.

Cho biểu thức: $P = \Bigg(\dfrac{\sqrt{a}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{a}}\Bigg)^2 .\Bigg(\dfrac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1} \Bigg)$, $0\lt a \ne 1$.

a. Rút gọn $P$.

b. Tìm các giá trị của $a$ để $P \lt 0$.

c. Tìm các giá trị của $a$ để $P = -2$.

Trong các hệ thống máy, một dây curoa bao quanh 2 bánh quay là hai đường tròn có tâm $O_1$ bán kính $40$ cm và tâm $O_2$ bán kính $10$ cm như hình dưới đây. Gọi $A$, $D$ là các điểm trên $(O_1)$ và $B$, $C$ là các điểm trên $(O_2)$ sao cho $AB$ và $CD$ tiếp xúc với đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ và chúng cắt nhau tại $M$ tạo thành góc $\widehat{BMC} = 60^\circ$.

a) Tính số đo cung lớn $\overset\frown{AD}$ của đường tròn $(O_1)$.

b) Tính độ dài dây curoa.

Chứng minh đẳng thức $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2.$

Hai chiếc thuyền $A$ và $B$ ở vị trí được minh họa như hình dưới dây. Tính khoảng cách giữa chúng. (kết quả làm tròn đến hàng đơn bị của mét)

Cho nửa đường tròn ($O$) đường kính $AB=2R$. Kẻ tiếp tuyến $Ax$ của đường tròn. Trên tia $Ax$ lấy điểm $C$ sao cho $AC>R$. Từ $C$ kẻ tiếp tuyến $CD$ của đường tròn $\left(O \right)$ ($D$ là tiếp điểm).