Cho biết hàm số $f(x)$ có đạo hàm là $f'\left(x \right)$ và có một nguyên hàm là $F(x)$. Nguyên hàm $I=\displaystyle \int{\left[ 2f(x)+f'\left(x \right)+1 \right]}\mathrm{d}x$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x )=2x^3-9$ là

Cho hàm số $f(x )$ thỏa mãn $f'(x )=3-5\sin x$ và $f(0 )=10$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $y=f(x )$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[ -1;1]$ thỏa mãn $\displaystyle\int\limits_{-1}^{1}f'(x )\mathrm{d}x=5$ và $f(-1 )=4$. Khi đó $f(1 )$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P): \, 2x-y+3z+1=0$ có một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $3$ điểm $A(1;6;2),\,B(5;1;3),\,C(4;0;6)$. Phương trình mặt phẳng $(ABC)~$ là

Trong không gian $Oxyz$, phương trình của mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $B(2;1;-3)$, đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng $(Q): \, x+y+3z=0$, $(R): \, 2x-y+z=0$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $A(2;\ -3;\ -2)$ và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-5;1)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và mặt phẳng $(\alpha):Ax+By+Cz+D=0$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng

Nếu $F(x)=x^3-7x+2\mathrm{e}^{x}+C$, ($C$ là hằng số) thì $F(x)$ là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Cho $\displaystyle \int \limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} \cos 4x\cos x \mathrm{d}x = \dfrac{\sqrt{2}}{a}+\dfrac{b}{c}$ với $a,\,b,\,c$ là các số nguyên, $c\lt 0$ và $\dfrac{b}{c}$ tối giản. Tổng $a+b+c$ bằng

Biết $I=\displaystyle\int\limits_{1}^{2}{\dfrac{1}{2}}\Big(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2} \Big)\mathrm{d}x = a\ln 2+b\ln 3$ với $a,\,b \in \mathbb{R}.$ Giá trị của biểu thức $T=a^2+b^3$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $M(2;0;-1)$, $N(1;-1;3)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q):\,3x+2y-z+5=0$.

Cho hình phẳng $(H )$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,\,x=4$.