Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $f(-3)=f(3)=\dfrac12$. Biết rằng hàm số $y=f'(x)$ là một hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số $g(x)=\big[f(3-x)\big]^2-f(3-x)$ đồng biến trên khoảng $(a ; +\infty)$. Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của $a$.

Trả lời:

Trong hệ trục toạ độ $(Oxy)$, cho đồ thị hàm số $(C)$: $y=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ $(x>-1)$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển, một trạm phát sóng đặt tại điểm $I(-1;-1)$. Biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $(C)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là $x_0=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a}}-b$ (Loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính $a.n+b$.

Trả lời:

Giả sử chi phí tiền xăng $C$ (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình $v$(km/h) theo công thức:

$C(v)=\dfrac{16\,000}{v}+\dfrac{5}{2}v$ $(0\lt v\le 120)$

Để biểu diễn trực quan sự thay đổi của $C(v)$ theo $v$, người ta đã vẽ đồ thị hàm số $C(v)$ như hình bên.

Tài xế xe tải lái xe với tốc độ trung bình là bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Trả lời:

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Tìm số nghiệm thực của phương trình $f^{2} (x)-f(x)=0$.

Trả lời:

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm $t$ được xác định bởi hàm số $x(t)=t^3-6 t^2+9 t$ với $t \geq 0$. Khi đó $x'(t)$ là vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $v(t);\, v'(t)$ là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm $t$. Vận tốc của chất điểm giảm dần tới thời điểm $t_a$ lại bắt đầu tăng dần. Tính $t_a$.

Trả lời:

Một cốc chứa $25$ml dung dịch $NaOH$ với nồng độ $100$ mg/ml. Một bình chứa dung dịch $NaOH$ khác với nồng độ $9$ mg/ml được trộn vào cốc. Gọi $C(x)$ là nồng độ của $NaOH$ sau khi trộn $x$ (ml) từ bình chứa, ta thấy nồng độ của $NaOH$ trong cốc sẽ luôn giảm theo $x$ nhưng luôn lớn hơn một số $a$. Tính $a$.

Trả lời: