Câu hỏi lý thuyết Ba đường conic (SGK)

Câu 1

1đ

Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định $F_1$ , $F_2$ trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm $F_1$ , $F_2$ ). Kéo căng sợi dây tại một điểm $M$ bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín. (Hình 7.18)

Hình 7.18

Câu 1:

Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh ở Hình $7.17$ .

7.17

Câu 2:

Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí $F_1$ , $F_2$ có thay đổi không? Vì sao?

A

Không. Vì tổng các khoảng cách luôn bằng độ dài sợi dây.

B

Không. Vì khoảng cách đến từng vị trí

F_1

,

F_2

đều không thay đổi.

C

Có. Vì khoảng cách đến vị trí

F_1

thay đổi còn khoảng cách đến vị trí

F_2

cố định.

D

Có. Vì khoảng cách đến từng vị trí

F_1

,

F_2

đều thay đổi.

Câu 2

1đ

Hoàn thành giải thích tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện $a>c$ ?

Elip

Xét tam giác $MF_1F_2$ , theo bất đẳng thức tam giác ta có:

$MF_1+MF_2$ $F_1F_2$ .

Mà $MF_1+MF_2=$ , $F_1F_2=$ nên $2a$ $2c$ .

Suy ra $a>c$ .

Câu 3

1đ

Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm. (H.7.20).

Hình 7.20

Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Không. Vì quãng đường bi lăn từ lúc xuất phát đến lúc về lỗ thu bằng khoảng cách từ điểm bi chạm vào thành bàn tới một trong hai tiêu điểm, khoảng cách này không đổi.

Có. Vì quãng đường bi lăn từ lúc xuất phát đến lúc về lỗ thu bằng khoảng cách từ điểm bi chạm vào thành bàn tới một trong hai tiêu điểm, khoảng cách này thay đổi.

Có. Vì quãng đường bi lăn từ lúc xuất phát đến lúc về lỗ thu bằng tổng khoảng cách từ điểm bi chạm vào thành bàn tới hai tiêu điểm, tổng này thay đổi.

Không. Vì quãng đường bi lăn từ lúc xuất phát đến lúc về lỗ thu bằng tổng khoảng cách từ điểm bi chạm vào thành bàn tới hai tiêu điểm, tổng này không đổi.

Câu 4

1đ

Xét một elip $(E)$ với các kí hiệu như trong định nghĩa. (H.7.21). Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ có gốc $O$ là trung điểm của $F_1F_2$ , tia $Ox$ trùng tia $OF_2$ .

7.21

Câu 1:

Toạ độ của các tiêu điểm $F_1$ , $F_2$ lần lượt là

$F_1(c; \, 0) $ và F_2(-c; \, 0)$.

$F_1(-c; \, 0) $ và F_2(c; \, 0)$.

$F_1(2c; \, 0) $ và F_2(-2c; \, 0)$.

$F_1(-2c; \, 0) $ và F_2(2c; \, 0)$.

Câu 2:

Hoàn thành giải thích vì sao điểm $M(x; \, y)$ thuộc elip khi và chỉ khi $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$ .

Chú ý. Người ta có thể biến đổi biểu thức trên về dạng $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , với $b=\sqrt{a^2-c^2}$ .

⚡Giả sử $M(x; \, y)$ thuộc elip $(E)$ , ta cần chứng minh: $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.$

Thật vậy, $M$ thuộc elip $(E)$ nên: $MF_1+MF_2=$ .

Lại có: $MF_1=\sqrt{(x-(-c))^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$ ; $MF_2=\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ .

Suy ra: $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=$

Vậy $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$ .

⚡Giả sử $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$ , ta cần chứng minh $M$ thuộc elip $(E)$ .

Thật vậy, $\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$ nên $MF_1+MF_2=$ .

Vậy $M$ thuộc elip $(E)$ .

Câu 5

1đ

Cho elip có phương trình chính tắc $\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{64}=1$ . Các tiêu điểm và tiêu cự của elip lần lượt là

F_1(-6; \, 0)

,

F_2(6; \, 0)

và

c=12

.

F_1(-6; \, 0)

,

F_2(6; \, 0)

và

2c=6

.

F_1(-6; \, 0)

,

F_2(6; \, 0)

và

c=6

.

F_1(-6; \, 0)

,

F_2(6; \, 0)

và

2c=12

.

Câu 6

1đ

Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1$ .

7.22

Biết rằng $1$ đơn vị trên mặt phẳng toạ độ của bản vẽ thiết kế ứng với $30$ cm trên thực tế. Tính chiều cao $h$ của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng $75$ cm. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trả lời: cm

Câu 7

1đ

Giả sử thiết bị tại $F_2$ nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại $F_1$ là $2$ giây và vận tốc âm thanh là $343$ m/s.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Giả sử nơi phát ra tín hiệu âm thanh là tại vị trí điểm $M$ . Khi đó $MF_1$ , $MF_2$ lần lượt là khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới $F_1$ , $F_2$ .
b) Gọi $t_1, \, t_2$ (giây) là thời gian âm thanh phát từ $M$ đến $F_1$ , $F_2$ . Ta có $t_2-t_1=2$ .
c) Mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới $F_1$ , $F_2$ là $MF_1-MF_2=686$ m.
d) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh chính là việc giải quyết bài toán tìm tập hợp những điểm $M$ thoả mãn $MF_1-MF_2=686$ m.

Câu 8

1đ

Hoàn thành giải thích tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện $a\lt c$ ?

Xét tam giác $MF_1F_2$ , áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có:

$|MF_1 - MF_2| \lt F_1F_2$ .

Mà $| MF_1-MF_2 |=$ , $F_1F_2=$ nên $2a$ $2c$ .

Suy ra $a\lt c$ .

Câu 9

1đ

Cho hình chữ nhật $ABCD$ và $M$ , $N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB$ , $CD$ . (H.7.25).

7.25

Hoàn thành chứng minh bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là $M$ và $N$ .
Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB=$ .
Vì $M$ , $N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB$ , $CD$ nên $AM=BM=\dfrac{1}{2}$ và $CN=DN=\dfrac{1}{2} CD$ .
Do đó ta có: $BM=CN=AM=DN$ . (*)
Mà $BM \parallel ND$ nên $BMDN$ là hình bình hành, suy ra $BN=MD$ . (1)
Tương tự, $AN=$ . (2)
Hơn nữa ta chứng minh được $BMNC$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo $BN$ và $MC$ bằng nhau, hay $BN=MC$ (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra: $BN=CM=AN=DM.$ (**)
Từ (*) và (**) ta có: $|BN-BM| =|CN-CM|=|AN-AM|=|DN-DM|\lt MN$ (theo bất đẳng thức tam giác).
Vậy $A$ , $B$ , $C$ , $D$ cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là $M$ và $N$ .

Câu 10

1đ

Xét một hypebol $(H)$ với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ có gốc $O$ là trung điểm của $F_1F_2$ , tia $Ox$ trùng tia $OF_2$ . (H.7.26).

7.26

Câu 1:

Toạ độ của các tiêu điểm $F_1$ , $F_2$ lần lượt là

F_1(2c; \, 0)

và

F_2(-2c; \, 0)

.

F_1(-c; \, 0)

và

F_2(c; \, 0)

.

F_1(-2c; \, 0)

và

F_2(2c; \, 0)

.

F_1(c; \, 0)

và

F_2(-c; \, 0)

.

Câu 2:

Hoàn thành giải thích vì sao điểm $M(x; \, y)$ thuộc $(H)$ khi và chỉ khi $|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}|=2a$ .

Chú ý. Người ta có thể biến đổi biểu thức trên về dạng $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , với $b=\sqrt{c^2-a^2}$ .

⚡Giả sử $M(x; \, y)$ thuộc hypebol $(H)$ , ta cần chứng minh: $|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}|=2a$ .

Thật vậy, $M$ thuộc hypebol $(H)$ nên: $|MF_1-MF_2|=$ .

Lại có: $MF_1=\sqrt{(x-(-c))^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$ ; $MF_2=\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$ .

Suy ra: $|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}|=$ .

Vậy $|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}|=2a$ .

⚡Giả sử $|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}|=2a$ , ta cần chứng minh $M$ thuộc hypebol $(H)$ .

Thật vậy, $|\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}|=2a$ nên $|MF_1-MF_2|=$

Vậy $M$ thuộc hypebol $(H)$ .

Câu 11

1đ

Cho hypebol $(H):\dfrac{x^2}{144}-\dfrac{y^2}{25}=1$ . Các tiêu điểm và tiêu cự của $(H)$ lần lượt là

F_1(-13; \, 0)

,

F_2(13; \, 0)

và

2c=26

.

F_1(-13; \, 0)

,

F_2(13; \, 0)

và

2c=13

.

F_1(-13; \, 0)

,

F_2(13; \, 0)

và

c=26

.

F_1(-13; \, 0)

,

F_2(13; \, 0)

và

c=13

.

Câu 12

1đ

Tự luận

Cho parabol $(P):y=\dfrac{1}{4}x^2$ . Xét $F(0; \, 1)$ và đường thẳng $\Delta:y+1=0$ . Với điểm $M(x; \, y)$ bất kì, chứng minh rằng $MF=d(M; \, \Delta)$ $\Leftrightarrow M(x; \, y)$ thuộc $(P)$ .

Câu 13

1đ

Xét $(P)$ là một parabol với tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $\Delta$ . Gọi $p$ là tham số tiêu của $(P)$ và $H$ là hình chiếu vuông góc của $F$ trên $\Delta$ . Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ có gốc $O$ là trung điểm của $HF$ , tia $Ox$ trùng tia $OF$ . (H.7.27)

7.27

Câu 1:

Tọa độ của $F$ và phương trình của $\Delta$ lần lượt là

F\Big( \dfrac{p}{2}; \, 0 \Big)

và

\Delta:x-\dfrac{p}{2}=0

.

F\Big( \dfrac{p}{2}; \, 0 \Big)

và

\Delta:x+\dfrac{p}{2}=0

.

F\Big( -\dfrac{p}{2}; \, 0 \Big)

và

\Delta:x+\dfrac{p}{2}=0

.

F\Big( -\dfrac{p}{2}; \, 0 \Big)

và

\Delta:x-\dfrac{p}{2}=0

.

Câu 2:

Tự luận

Giải thích vì sao điểm $M(x; \, y)$ thuộc $(P)$ khi và chỉ khi $\sqrt{\Big( x-\dfrac{p}{2} \Big)^2+y^2}=\Big| x+\dfrac{p}{2} \Big|$ .

Chú ý. Bình phương hai vế của phương trình trên rồi rút gọn, ta dễ dàng nhận được phương trình $y^2=2px$ .

Câu 14

1đ

Tự luận

Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo. (H.7.28)

7.28

Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Câu 15

1đ

Gương elip trong một máy tán sỏi thận ứng với elip có phương trình chính tắc $\dfrac{x^2}{400}+\dfrac{y^2}{76}=1$ (theo đơn vị cm).Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Trả lời: cm.

Bài học liên quan

Phần 1

Báo lỗi

Tải đề xuống