Trong hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): $y = ax^2$ và đường thẳng (d): $y = x + m$.

a) Biết parabol (P) đi qua điểm $M(2;4)$, tìm giá trị của $a$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt trục hoành tại điểm $A$ và cắt trục tung tại điểm $B$ sao cho diện tích tam giác $OAB$ bằng $8$.

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d): y = ax + b$. Tìm các hệ số $a, b$ biết $(d)$ có hệ số góc bằng $-2$ và $(d)$ cắt $(P): y= \dfrac{2}{3}x^2$ tại điểm $M$ có hoành độ dương và có tung độ bằng $6$.

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y=ax^2$ và đường thẳng $(d)$. Tìm tọa độ của điểm $B$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $d:$ $y = 4x + 1 - m$ và parabol $(P):$ $y = x^2$. Tìm giá trị của $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có tung độ $y_1$ và $y_2$ sao cho $\sqrt{y_1}.\sqrt{y_2} = 5.$

Cho parabol $(P):y=x^2$ và đường thẳng $(d)\,:y=mx+4$. Tìm $m$ sao cho $(d)$ cắt $(P )$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1$, $x_2$ thỏa mãn biểu thức $A=\dfrac{2(x_1+x_2)+7}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Cho parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $d:\, y= 2mx - m^2+1$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;\,y_2)$, $B(x_2;\,y_2)$ thỏa mãn $y_1- y_2=4$.

Cho parabol $(P):\, y = -x^2$ và đường thẳng $d: y = 2x + m-1$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;\,y_1),\, B(x_2;\,y_2)$ mà $x_1y_1 - x_2y_2- x_1x_2= -4$.

Cho hàm số $y=(m-4 )x+m+4$ ($m$ là tham số), có đồ thị là $(d)$. Tìm $m$ sao cho $(d)$ cắt $(P ):y=x^2$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $x_1(x_1-1 )+x_2(x_2-1 )=18$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, biết rằng parabol $(P)$: $y=x^2$ và đường thẳng $(d)$: $y=x-m$ có một hoành độ giao điểm là $x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$. Giả sử $x_1; \, x_2$ là các hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên. Không giải phương trình, tính giá trị $\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{2\,025}{x_1+x_2-2}$.

Cho parabol (P): $y=x^2$ và đường thẳng $d:\,x=(m-3)x-m+4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,\,x_2$ là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân.

Cho parabol $(P):\, y =x^2$ và đường thẳng $d: y = -4x +m^2 - 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,\, x_2$ thỏa mãn $x_2=x_{1}^{3}+4x_{1}^{2}$.

Cho Parabol $(P ):\,y=x^2$ và đường thẳng $d:y=mx+m+1$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(P )$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,\,x_2$ thỏa mãn $2x_1-3x_2=5$.

Cho parabol $(P): y =- 2x^2$ và đường thẳng $(d): y=-3x +1$.

a) Vẽ $(P)$ và $(d)$ trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ bằng phép tính.

Cho $(P ):\,y=x^2$ và $d:\,y=2(m-1 )x+3-2m$. Tìm $m$ để d cắt $(P )$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,\,x_2$ là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng $\sqrt{10}$.

Cho Parabol $(P ):y=x^2$ và $d:\,y=mx-m+1.$ Tìm m để $(P )$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,\,\,x_2$ thỏa mãn $| x_1 |+| x_2 |=4$.

Cho parabol $(P): y =x^2$ và đường thẳng $d: \,y =2(m+1) + 3$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,\, x_2$ thỏa mãn $2| x_1 |+| x_2 |=5$.

Cho parabol (P): $y=x^2$ và đường thẳng $d:\, y=(2m+1 )x-2m$. Tìm $m$ để $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_1;\,y_1 ),\,B(x_2;\,y_2)$ sao cho biểu thức $T=y_1+y_2-x_1x_2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng toạ độ $O x y$, cho parabol $(P)$: $y=x^{2}$ và đường thẳng $(d)$: $y=2 x+m-2$. Tìm tất cả giá trị của $m$ để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1},$ $x_{2}$ sao cho $\left|x_{1}-x_{2}\right|=2$.

Cho parabol $(P):\,\,y={{x}^{2}}$ và đường thẳng $d:\,y=2x-m$ (với $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có $A(x_1;\,y_1),\,B (x_2;\,y_2)$ sao cho $y_1+y_2+x_1^2x_2^2=6(x_1+x_2).$

Cho parabol $(P): y =- 2x^2$ và đường thẳng $(d): y= x-3$.

a) Vẽ parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ trên cùng một hệ trục tọa độ $Oxy$.

b) Viết phương trình đường thẳng $(d_1): y= ax+b$ song song với $(d)$ và đi qua điểm $A(1;3)$.