Bài toán thực tiễn liên quan đến hàm số, phương trình, bất phương trình mũ SVIP

Gọi $I(t )$ là số ca bị nhiễm bệnh Covid –19 ở quốc gia $X$ tại ngày khảo sát thứ $t$. Sau $t$ ngày khảo sát ta có công thức $I(t )=A.\mathrm{e}^{r_0}.(t-1)$ với $A$ là số ca nhiễm trong ngày khảo sát đầu tiên, $r_0$ là hệ số lây nhiễm. Biết rằng ngày đầu tiên khảo sát có $500$ ca bị nhiễm bệnh và ngày thứ $10$ khảo sát có $1\,000$ ca bị nhiễm bệnh. Ngày thứ $15$ số ca nhiễm bệnh gần nhất với số nào dưới đây, biết rằng trong suốt quá trình khảo sát hệ số lây nhiễm là không đổi?

Số người trong cộng đồng sinh viên đã nghe một tin đồn nào đó là $N=P(1-\mathrm{e}^{-0,15 d})$ trong đó $P$ là tổng số sinh viên của cộng đồng và $d$ là số ngày trôi qua kể từ khi tin đồn bắt đầu. Trong một cộng đồng $1\,000$ sinh viên, cần bao nhiêu ngày để $450$ sinh viên nghe được tin đồn?

Số lượng của một loài vi khuẩn sau $t$ (giờ) được xấp xỉ bởi đẳng thức $Q(t )=Q_0.\mathrm{e}^{0.195t}$, trong đó $Q_0$ là số lượng vi khuẩn ban đầu. Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là $5\,000$ con thì sau khoảng bao nhiêu giờ, số lượng vi khuẩn có $100\,000$ con?

Biết rằng năm 2001, dân số Việt Nam là $78\,685\,800$ người và tỉ lệ tăng dân số năm đó là $1,7\%$. Cho biết sự tăng dân số được ước tính theo công thức $S=A.\mathrm{e}^{Nr}$ (trong đó $A$: là dân số của năm lấy làm mốc tính, $S$ là số dân sau $N$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm). Nếu dân số vẫn tăng với tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức $120$ triệu người?

Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ được bao nhiêu $\%$ mỗi tháng. Sau $t$ tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức $M(t )=75-20\ln(t+1 ),\,\,t\ge 0$ (đơn vị $\%$). Số tháng tối thiểu để số học sinh nhớ được danh sách đó là dưới $10\%$ là

Trong khuôn viên một trường đại học có $5\,000$ sinh viên, một sinh viên vừa trở về sau kì nghỉ và bị nhiễm virus cúm truyền nhiểm kéo dài. Sự lây lan này được mô hình hóa bởi công thức $y=\dfrac{5\,000}{1+4\,999\mathrm{e}^{-0,8t}},\,\,\forall t\ge 0$. Trong đó $y$ là tổng số học sinh bị nhiễm sau $t$ ngày. Các trường đại học sẽ cho các lớp học nghỉ khi có nhiều hơn hoặc bằng $40\%$ số sinh viên bị lây nhiễm. Sau ít nhất bao nhiêu ngày thì trường cho các lớp nghỉ học?

Một công ty vừa tung ra thị trường sản phẩm mới và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình mỗi ngày. Một nghiên cứu thị trường cho thấy, nếu sau $x$ quảng cáo được phát thì số $\%$ người xem mua sản phẩm là $P(x )=\dfrac{100}{1+49. \mathrm{e}^{-0,015x}}$ với $x\ge 0$. Số quảng cáo được phát tối thiểu để số người mua đạt hơn $75\%$ là