Bác Minh muốn đặt đóng một chiếc hộp đựng quà lưu niệm có dạng hình hộp chữ nhật với mặt đáy $ABCD$ là hình vuông như hình dưới đây:

Để món quà trở nên đặc biệt, bác Minh muốn mạ bốn mặt xung quanh và mặt đáy dưới (đáy $MNPQ$) của chiếc hộp bằng kim loại quý (không mạ nắp hộp). Em hãy tìm độ dài cạnh $MN$ của mặt đáy và chiều cao $AM$ của hộp quà sao cho tổng diện tích các mặt được mạ kim loại quý của chiếc hộp là nhỏ nhất. Biết rằng thể tích của chiếc hộp là $4$ dm³.

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có các cạnh bên đều bằng $6$ cm, độ dài cạnh đáy là $x$ cm. Tìm $x$ để diện tích xung quanh của hình chóp đều đó là lớn nhất.

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có đáy là hình thoi. Biết thể tích của nó là $1\,280$ cm³ và chiều cao là $20$ cm. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích xung quanh.

Một miếng bìa hình vuông có cạnh $6$ dm. Ở mỗi góc của hình vuông người ta cắt đi một hình vuông nhỏ cạnh $x$ rồi gấp bìa để được một hình hộp chữ nhật (không có nắp). Tính cạnh $x$ của mỗi hình vuông nhỏ để hộp thu được có thể tích lớn nhất.

Một công ty bánh kẹo muốn sản xuất một loại kẹo có dạng hình nón. Nhân của kẹo làm bằng sô cô la là một hình trụ có bán kính đáy và chiều cao cùng bằng $1$ cm, một đáy của nhân kẹo nằm trên mặt đáy của hình nón và có tâm trùng với tâm đáy hình nón, đường tròn đáy còn lại của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón. Phần còn lại của kẹo được phủ đầy bằng sữa khô (hình vẽ). Biết rằng công ty đã thiết kế viên kẹo có thể tích nhỏ nhất để tiết kiệm tối đa nguyên liệu sữa khô. Tính chiều cao của viên kẹo.

Gia đình anh Thanh cần xây dựng một hố ga mới có thể tích là $3,2$ m³, dạng hình hộp có đáy là hình vuông. Người thợ muốn làm ra cái hố ga theo yêu cầu của anh Phát với chi phí thấp nhất thì diện tích toàn phần có giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy và chiều cao của khối hộp hố ga là bao nhiêu mét, biết hố ga không có nắp đậy phía trên. Xác định kích thước $x$, $h$ cần phải xây dựng để tiết kiệm nguyên vật liệu cát đá xi măng nhất.